Probabilità tre eventi con tre dadi
Ciao a tutti,
mi trovo a dover risolvere un problema di probabilità ma non sono sicuro del procedimento.
"Si considerino tre dadi senza simboli sui lati. Esiste una possibilità di segnare i lati dei tre dadi con numeri naturali, in modo tale che, per i tre risultati dei dadi $X_1, X_2, X_3$, valgano contemporaneamente le seguenti probabilità:
$P(X_1>X_2) > 0.5, P(X_2>X_3) > 0.5, P(X_3>X_1) > 0.5$ ?
Si fornisca un esempio o una controprova".
Soluzione proposta
Io ho pensato di impostare il problema considerando che, nominando gli eventi:
$A:=X_1>X_2; B:= X_2>X_3; C:=X_3>X_1$
Si richiede che si abbia: $P(X_1>X_2)=P(A)>0.5$, ma allo stesso tempo la condizione sull'evento B e C $rArr P(B)>0.5, P(C)>0.5$, da cui segue $P(X_2>X_1)>0.5$ *
Ma se vale $P(X_1>X_2)>0.5$ allora segue $P(X_2<=X_1)<0.5$, che è in contraddizione con *. Quindi no, non è possibile la richiesta del testo.
Vi sembra corretto?
Come controesempio pensavo di proporre: segnare tutti i lati dei dadi rispettivamente con il numero 3 per il primo dado, il numero 2 del secondo e il numero 1 il terzo.
Sarebbero valide le condizioni su A e B, ma non C.
Vi sembra un controesempio valido?
mi trovo a dover risolvere un problema di probabilità ma non sono sicuro del procedimento.
"Si considerino tre dadi senza simboli sui lati. Esiste una possibilità di segnare i lati dei tre dadi con numeri naturali, in modo tale che, per i tre risultati dei dadi $X_1, X_2, X_3$, valgano contemporaneamente le seguenti probabilità:
$P(X_1>X_2) > 0.5, P(X_2>X_3) > 0.5, P(X_3>X_1) > 0.5$ ?
Si fornisca un esempio o una controprova".
Soluzione proposta
Io ho pensato di impostare il problema considerando che, nominando gli eventi:
$A:=X_1>X_2; B:= X_2>X_3; C:=X_3>X_1$
Si richiede che si abbia: $P(X_1>X_2)=P(A)>0.5$, ma allo stesso tempo la condizione sull'evento B e C $rArr P(B)>0.5, P(C)>0.5$, da cui segue $P(X_2>X_1)>0.5$ *
Ma se vale $P(X_1>X_2)>0.5$ allora segue $P(X_2<=X_1)<0.5$, che è in contraddizione con *. Quindi no, non è possibile la richiesta del testo.
Vi sembra corretto?
Come controesempio pensavo di proporre: segnare tutti i lati dei dadi rispettivamente con il numero 3 per il primo dado, il numero 2 del secondo e il numero 1 il terzo.
Sarebbero valide le condizioni su A e B, ma non C.
Vi sembra un controesempio valido?
Risposte
Ed invece è possibile. Ad esempio le facce (non i lati) di un dado siano segnate con tutti $ 3 $; quello di un altro con quattro $ 4 $ e due $ 1 $; quelle dell'ultimo con quattro $ 2 $ e due $ 5 $. Prova a fare i conti.
Ciao
Ciao
"orsoulx":
Ed invece è possibile. Ad esempio le facce (non i lati) di un dado siano segnate con tutti $ 3 $; quello di un altro con quattro $ 4 $ e due $ 1 $; quelle dell'ultimo con quattro $ 2 $ e due $ 5 $. Prova a fare i conti.
Ciao
Ho provato a fare i conti con il tuo esempio e mi risulta:
$P(X_1>X_2)=1/3<0.5,P(X_2>X_3)$ non riesco a calcolarlo, $P(X_3>X_1)=1/3<0.5$
dove è che sbaglio?
ma davvero qualcuno ti ha definito i lati di un cubo????
@Orsoulx ti ha dato la soluzione, semplicemente non ti ha detto in che ordine mettere i dadi.....
definiamo:
$X_1-={{: ( 1 , 4 ),( 2/6 , 4/6 ) :}$
$X_2-={{: ( 3 ),( 1 ) :}$
$X_3-={{: ( 2 , 5 ),( 4/6 , 2/6 ) :}$
a questo punto abbiamo:
$P{X_1>X_2}=P{X_1=4}=4/6>0.5$
$P{X_2>X_3}=P{X_3=2}=4/6>0.5$
$P{X_3>X_1}=P{X_3=2;X_1=1}+P{X_3=5}=4/6*2/6+2/6=20/36>0.5$
@Orsoulx ti ha dato la soluzione, semplicemente non ti ha detto in che ordine mettere i dadi.....
definiamo:
$X_1-={{: ( 1 , 4 ),( 2/6 , 4/6 ) :}$
$X_2-={{: ( 3 ),( 1 ) :}$
$X_3-={{: ( 2 , 5 ),( 4/6 , 2/6 ) :}$
a questo punto abbiamo:
$P{X_1>X_2}=P{X_1=4}=4/6>0.5$
$P{X_2>X_3}=P{X_3=2}=4/6>0.5$
$P{X_3>X_1}=P{X_3=2;X_1=1}+P{X_3=5}=4/6*2/6+2/6=20/36>0.5$
Grazie mille ad entrambi!
PS: no avete ragione, nel testo si parlava di facce del dado
PS: no avete ragione, nel testo si parlava di facce del dado
Prego. Se hai voglia di approfondire ti propongo questo quesito: è possibile, con le stesse condizioni, ottenere tre probabilità maggiori di $0.6$?
Ciao
Ciao
Mi sono scervellato per due giorni, ma non riesco a trovare combinazioni che garantiscano sempre probabilità maggiori di 0.6 al secondo giocatore (per dadi a sei facce).
Di certo qualcuno saprà risolvere il quesito con un approccio meno "muscolare", ma dopo tutto questo tempo meglio questo di niente.
Di certo qualcuno saprà risolvere il quesito con un approccio meno "muscolare", ma dopo tutto questo tempo meglio questo di niente.
@andomito:
Si potrebbe articolare la risposta in "si, credo di no, si, si".
Se indichiamo con $ a; b; c $ le tre probabilità, deve essere $c<=1-a b $. Il massimo della minore fra le tre probabilità si ottiene imponendo che siano uguali: $ a=b=c=p $ da cui $ p^2+p-1=0 $ (toh! La sezione aurea) $p=0.618...$.
Le proprietà di un dado esaedrico a facce equiprobabili e la proprietà transitiva della relazione 'minore di' fra numeri, limitano le possibilità; ricordo che due anni fa non ero riuscito a far di meglio di $ p=7/12=0.583.. $.
Il testo del quesito non richiede esplicitamente le proprietà che ho indicato e, da buon giocherellone, direi che si può superare lo $ 0.6 $ almeno in due casi:
1) dadi ottaedrici a facce equiprobabili, dove si arriva facilmente a $ p=39/64=0.609.. $;
2) dad1 esaedrici 'taroccati' che possono portare al massimo teorico.
Ciao
Si potrebbe articolare la risposta in "si, credo di no, si, si".
Se indichiamo con $ a; b; c $ le tre probabilità, deve essere $c<=1-a b $. Il massimo della minore fra le tre probabilità si ottiene imponendo che siano uguali: $ a=b=c=p $ da cui $ p^2+p-1=0 $ (toh! La sezione aurea) $p=0.618...$.
Le proprietà di un dado esaedrico a facce equiprobabili e la proprietà transitiva della relazione 'minore di' fra numeri, limitano le possibilità; ricordo che due anni fa non ero riuscito a far di meglio di $ p=7/12=0.583.. $.
Il testo del quesito non richiede esplicitamente le proprietà che ho indicato e, da buon giocherellone, direi che si può superare lo $ 0.6 $ almeno in due casi:
1) dadi ottaedrici a facce equiprobabili, dove si arriva facilmente a $ p=39/64=0.609.. $;
2) dad1 esaedrici 'taroccati' che possono portare al massimo teorico.
Ciao
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