Probabilità rispetto a decomposizioni
La domanda mi è venuta fuori leggendo il libro Probability, Shiryayev, in particolare sec. 8.3 e sec. 12.1 (equazione 7).
In sostanza, data una qualunque decomposizione \(\displaystyle \mathcal{D}=\{D_1,D_2,...,D_n\} \) dello spazio delle probabilità (finito) \(\displaystyle \Omega \), con \(\displaystyle P(D_i)>0 \), definisce la seguente variabile aleatoria:
$$ P(A|\mathcal{D}) := \bigg( \omega\mapsto P(A|D_{j(\omega)}) \bigg)$$
dove $A$ è un qualunque fissato evento in \(\displaystyle \Omega \) e \(\displaystyle D_{j(\omega)} \) è l'elemento di \(\displaystyle \mathcal{D} \) che contiene \(\displaystyle \omega\in\Omega \).
Fin qui tutto chiaro.
A questo punto afferma che: se si prende l'algebra \(\displaystyle \alpha({\mathcal{D}}) \) generata da \(\displaystyle \mathcal{D} \) (l'insieme di tutte le possibili unioni di \(\displaystyle \mathcal{D} \) e l'insieme vuoto) si ha che \(\displaystyle P(A|\mathcal{D})=P(A|\alpha(\mathcal{D})) \).
Non capisco cosa significhi, poiché \(\displaystyle P(A|\alpha(\mathcal{D})) \) mi sembra proprio mal definita, in quanto un \(\displaystyle \omega \) può appartenere a più di un elemento di \(\displaystyle \alpha(\mathcal{D}) \), o mi sbaglio?
In sostanza, data una qualunque decomposizione \(\displaystyle \mathcal{D}=\{D_1,D_2,...,D_n\} \) dello spazio delle probabilità (finito) \(\displaystyle \Omega \), con \(\displaystyle P(D_i)>0 \), definisce la seguente variabile aleatoria:
$$ P(A|\mathcal{D}) := \bigg( \omega\mapsto P(A|D_{j(\omega)}) \bigg)$$
dove $A$ è un qualunque fissato evento in \(\displaystyle \Omega \) e \(\displaystyle D_{j(\omega)} \) è l'elemento di \(\displaystyle \mathcal{D} \) che contiene \(\displaystyle \omega\in\Omega \).
Fin qui tutto chiaro.
A questo punto afferma che: se si prende l'algebra \(\displaystyle \alpha({\mathcal{D}}) \) generata da \(\displaystyle \mathcal{D} \) (l'insieme di tutte le possibili unioni di \(\displaystyle \mathcal{D} \) e l'insieme vuoto) si ha che \(\displaystyle P(A|\mathcal{D})=P(A|\alpha(\mathcal{D})) \).
Non capisco cosa significhi, poiché \(\displaystyle P(A|\alpha(\mathcal{D})) \) mi sembra proprio mal definita, in quanto un \(\displaystyle \omega \) può appartenere a più di un elemento di \(\displaystyle \alpha(\mathcal{D}) \), o mi sbaglio?
Risposte
Ciao e grazie per avermi risposto.
In realtà purtroppo ancora non ho capito
Magari, se puoi per favore, puoi farmi vedere come definiresti matematicamente \(\displaystyle P(A|\alpha(\mathcal{D})) \) in analogia alla definizione che mi hai fatto vedere per \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \)?
In realtà purtroppo ancora non ho capito
Magari, se puoi per favore, puoi farmi vedere come definiresti matematicamente \(\displaystyle P(A|\alpha(\mathcal{D})) \) in analogia alla definizione che mi hai fatto vedere per \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \)?
Non riesco proprio a capire giuro.
Prendiamo \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \). Mi chiedo, cosa fa questa variabile aleatoria? Prende ogni volta un \(\displaystyle \omega \) in \(\displaystyle \Omega \) e si chiede, a quale elemento di \(\displaystyle \mathcal{D} \) appartiene? La risposta è sempre "a uno solo: \(\displaystyle D_j \)", allora mappo \(\displaystyle \omega \mapsto P(A|D_j) \).
Nel secondo caso:
\( P(A|\alpha(\mathcal{D}))=\sum_{i=1}^{k'}P(A|B_i)I_{B_i}(\omega) \)
dove \(\displaystyle B_i \) sono tutti gli elementi di \(\displaystyle \alpha(\mathcal{D}) \).
Quindi di nuovo, preso un \(\displaystyle \omega\in\Omega \), stavolta (a differenza di prima) la somma non ha sempre un solo addendo non nullo, ma ne ha più di uno.
Se ad esempio \(\displaystyle \omega \) stava in \(\displaystyle D_j \), allora adesso la somma avrà un addendo non nullo per \(\displaystyle D_j \), ma avrà addendi non nulli anche in ogni altro \(\displaystyle D_j\cup D_r, r\neq j \). Per cui l'immagine per quel punto $\omega$ non sarà la stessa che veniva prima mappata da \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \).
Prendiamo \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \). Mi chiedo, cosa fa questa variabile aleatoria? Prende ogni volta un \(\displaystyle \omega \) in \(\displaystyle \Omega \) e si chiede, a quale elemento di \(\displaystyle \mathcal{D} \) appartiene? La risposta è sempre "a uno solo: \(\displaystyle D_j \)", allora mappo \(\displaystyle \omega \mapsto P(A|D_j) \).
Nel secondo caso:
\( P(A|\alpha(\mathcal{D}))=\sum_{i=1}^{k'}P(A|B_i)I_{B_i}(\omega) \)
dove \(\displaystyle B_i \) sono tutti gli elementi di \(\displaystyle \alpha(\mathcal{D}) \).
Quindi di nuovo, preso un \(\displaystyle \omega\in\Omega \), stavolta (a differenza di prima) la somma non ha sempre un solo addendo non nullo, ma ne ha più di uno.
Se ad esempio \(\displaystyle \omega \) stava in \(\displaystyle D_j \), allora adesso la somma avrà un addendo non nullo per \(\displaystyle D_j \), ma avrà addendi non nulli anche in ogni altro \(\displaystyle D_j\cup D_r, r\neq j \). Per cui l'immagine per quel punto $\omega$ non sarà la stessa che veniva prima mappata da \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \).
Ma allora che senso ha? Introduciamo una notazione nuova così a caso?
Uno, avendo visto che la definizione di \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \) è \(\displaystyle \sum_{D_i\in\mathcal{D}}P(A|D_i)I_{D_i}(\omega) \) si aspetta ragionevolmente che la definizione di \(\displaystyle P(A|\alpha(\mathcal{D})) \) sia ovviamente \(\displaystyle \sum_{B_i\in\alpha(\mathcal{D})}P(A|B_i)I_{B_i}(\omega) \) e non la stessa di prima, altrimenti che la introduciamo a fare?
Uno, avendo visto che la definizione di \(\displaystyle P(A|\mathcal{D}) \) è \(\displaystyle \sum_{D_i\in\mathcal{D}}P(A|D_i)I_{D_i}(\omega) \) si aspetta ragionevolmente che la definizione di \(\displaystyle P(A|\alpha(\mathcal{D})) \) sia ovviamente \(\displaystyle \sum_{B_i\in\alpha(\mathcal{D})}P(A|B_i)I_{B_i}(\omega) \) e non la stessa di prima, altrimenti che la introduciamo a fare?
Grazie mille!
Sostanzialmente dunque, ogni volta che leggo di probabilità condizionata rispetto ad una algebra, devo mentalmente tradurre in “ probabilità condizionata rispetto alla decomposizione che l’ha generata”.
Sostanzialmente dunque, ogni volta che leggo di probabilità condizionata rispetto ad una algebra, devo mentalmente tradurre in “ probabilità condizionata rispetto alla decomposizione che l’ha generata”.
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