Probabilità figli femmine

[Magma1]

Buon dì,

vorrei chiedervi che differenza c'è tra queste due tracce

Una coppia ha due figli. Sapendo che uno dei due è femmina, qual è la probabilità che anche l'altro sia femmina?

Una coppia si è appena trasferita; in città si sa solo che hanno due figli. Qualcuno incontra la madre per strada a passeggio con uno dei due figli. Se il figlio è una femmina, qual è la probabilità che i figli siano entrambe femmine?

A me sembrano uguali invece hanno soluzioni diverse

[kobeilprofeta]

Sono sottigliezze.
Nel primo viene 1/3
Nel secondo 1/2

Provo a dirla cosi:
Nel primo hai mm,mf,fm, ff e escludi solo mm
Nel secondo un figlio (quello a passeggio) già lo conosci, hai indecisione solo sull'altro . quindi tra m,f hai 1/2

[Magma1]

"kobeilprofeta":Sono sottigliezze.

Nel secondo un figlio (quello a passeggio) già lo conosci, hai indecisione solo sull'altro . quindi tra m,f hai 1/2

Per ragion di logica anche nel secondo caso sarebbe dovuto essere $1/3$ in quanto i vari casi possibili sono sempre $(f,f),(f,m),(m,f)$.

L'unica differenza tra le due tracce che noto è che nel primo so che uno è femmina, pur non conoscendola; nel secondo caso so che uno dei figli è femmina proprio perché la conosco...

Il libro, invece, da questa soluzione che mi ha lasciato perplesso

Introduciamo i seguenti eventi
$F_1$: il primogenito è femmina
$F_2$: il secondo genito è femmina
$F$: il bambino a passeggio con la mamma è femmina

Indichiamo con $M_1, M_2, M$ gli eventi analoghi dove "femmina" è sostituito da "maschio".

Ora la probabilità cercata è

$P(F_1F_2|F)=(P(F_1F_2F))/(P(F))=(P(F_1F_2))/(P(F))$

Inoltre

$P(F)=P(F|F_1F_2)P(F_1F_2)+P(F|F_1M_2)P(F_1M_2)+P(F|M_1F_2)P(M_1F_2)+P(F|M_1M_2)$

$=P(F_1F_2)+P(F|F_1M_2)P(F_1M_2)+P(F|M_1F_2)P(M_1F_2)$

dove per ottenere l'ultima formuala si è usato il fatto che

$P(F|F_1F_2)=1$
$P(F|M_1M_2)=0$

Se ora facciamo l'ipotesi standard che i quattro casi possibili siano egualmente probabili, otteniamo che

$P(F_1F_2|F)= (1/4)/( 1/4+(P(F|F_1M_2))/4+(P(F|M_1F_2))/4 )$

$=1/( 1+P(F|F_1 M_2 )+P(F|M_1F_2 ))$

La rispota dipende pertanto da quale ipotesi si decide di fare sulle probabilità condizionare che il figlio visto a passaggio con la madre sia una femmina dato l'evento $F_1M_2$ e che il figlio visto a passeggio con la madre sia femmina dato l'evento $F_2M_1$.
Ad esempio se supponiamo, indipendentemente dal sesso dei figli, che il figlio a passeggio con la madre sia il primogenito con una probabilità uguale a $p$, allora

$P(F|F_1M_2)=p=1-P(F|M_1 F_2 )$

e ciò implica che

$P(F_1F_2|F)=1/2$

D'altro lato se, nel caso in cui i ragazzi hanno sessi diversi, supponiamo che la madre sceglierà di portare a passeggio la femmina con probabilità $q$, indipendente dal'ordine di nascita dei figli, si ha

$P(F|F_1M_2)=P(F|M_1F_2)=q$

e ciò conduce a

$P(F_1F_2|F)=1/(1+2q)$

Ad esempio, se avessimo $q=1$, il che significa che la madre sceglierà sempre di uscire con una figlia, la probabilità condizionata cercata verrebbe $1/3$.

Pertanto il problema così formulato non ha soluzione. Infatti, anche facendo l’ipotesi usuale di equiprobabilità dei generi, sono necessarie altre ipotesi prima di fornire la soluzione. Ciò accade in quanto lo spazio campionario dell’esperimento consiste dei vettori del tipo $(s_1, s_2, i)$, dove $s_1$ è il sesso del primogenito, $s_2$ è il sesso del secondogenito, e $i= 1$ o $2$ a seconda che il figlio a passeggio con la madre sia, rispettivamente, il primogenito o il secondogenito. Ne segue che, per determinare le probabilità degli eventi dello spazio campionario, non è sufficiente fare solo delle ipotesi sul sesso dei figli, ma che occorre anche fare delle ipotesi sulle probabilità condizionate di quale figlio è con la madre dato il sesso dei figli.

Un'altra cosa che non capisco è perché continua a considerare il totale degli esiti possibili pari a $4$ anziché $3$[nota]Andrebbe escluso il caso $(m,m)$[/nota]