Probabilità di estrarre k palline rosse.
Chi mi sa spiegare perchè avendo 5 palline rosse su 9 la probabilità di estrarre 3 palline rosse con 7 estrazioni è data dal seguente calcolo:
CASI POSSIBILI: [size=150]D[/size]9,7
CASI FAVOREVOLI:[size=150] C[/size]7,3 x [size=150]D[/size]5,3 x [size=150]D[/size]4,4
So che la probabilità si ottiene facendo casi favorevoli/casi possibili. quello che non riesco a capire è perchè i casi favorevoli si ottengono dal prodotto di [size=150] C[/size]7,3 x [size=150]D[/size]5,3 x [size=150]D[/size]4,4.
Se c'è qualcuno che è in grado si spiegarmelo con parole chiare senza l'utilizzo di troppi simboli o formule sarebbe gentilissimo.Grazie!
CASI POSSIBILI: [size=150]D[/size]9,7
CASI FAVOREVOLI:[size=150] C[/size]7,3 x [size=150]D[/size]5,3 x [size=150]D[/size]4,4
So che la probabilità si ottiene facendo casi favorevoli/casi possibili. quello che non riesco a capire è perchè i casi favorevoli si ottengono dal prodotto di [size=150] C[/size]7,3 x [size=150]D[/size]5,3 x [size=150]D[/size]4,4.
Se c'è qualcuno che è in grado si spiegarmelo con parole chiare senza l'utilizzo di troppi simboli o formule sarebbe gentilissimo.Grazie!
Risposte
Le estrazioni sono senza reimmissione immagino. Perché altrimenti basta usare la binomiale.
sinceramente non lo so se c'è la reinmissione. So che la formula che viene applicata è quella. Non riesco a comprenderla però. Potrei anche prenderla per data ma vorrei capire cosa sta dietro alla formula. grazie.
Secondo me se c'è reimmissione, la probabilità richiesta si calcola utilizzando la distribuzione binomiale:
$p=((7),(3))*(5/9)^7*(4/9)^4=0.02$
Altrimenti, senza reimmissione, userei l'ipergeometrica:
$p=\frac{((5),(3))((4),(4))}{((9),(7))}=0.278$
$p=((7),(3))*(5/9)^7*(4/9)^4=0.02$
Altrimenti, senza reimmissione, userei l'ipergeometrica:
$p=\frac{((5),(3))((4),(4))}{((9),(7))}=0.278$
L'esercizio si risolve usando la formula che ho citato sopra io. Almeno sul mio libro è mostrato così. La mia richiesta era su dei chiarimenti sull'utilizzo di quella formula.
Ammetto di non aver mai visto la formula che riporta il tuo libro. Tra l'altro svolgendo il calcolo, viene lo stesso risultato ottenuto applicando l'ipergeometrica quindi l'estrazione è senza reimmissione come sospettavo. A questo punto passo la palla a qualcun altro che evidenzi l'equivalenza tra la tua formula e quella dell'ipergeometrica.
Abbiamo 5 palline rosse, e 4 nere.
Numeriamole:
Rosse: 1 2 3 4 5
Nere : 6 7 8 9
Su 7 estrazioni 3 sono rosse le altre 4 sono le 4 nere.
Immagina che le prime 3 palline sono le rosse.
In quanti modi diversi possiamo disporre 3 palline rosse sulle 5 ? [size=150]D[/size]5,3
Le successive 4 son nere
In quanti modi diversi possiamo disporre 4 palline nere su 4? [size=150]D[/size]4,4
Ora pensa alla disposizione:
1 2 3 6 7 8 9
In quanti modi puoi combinare le 3 rosse nelle 7 posizioni disponibili ? [size=150] C[/size]7,3 ( o volendo puoi combinare le 4 nere in [size=150] C[/size]7,4 )
Numeriamole:
Rosse: 1 2 3 4 5
Nere : 6 7 8 9
Su 7 estrazioni 3 sono rosse le altre 4 sono le 4 nere.
Immagina che le prime 3 palline sono le rosse.
In quanti modi diversi possiamo disporre 3 palline rosse sulle 5 ? [size=150]D[/size]5,3
Le successive 4 son nere
In quanti modi diversi possiamo disporre 4 palline nere su 4? [size=150]D[/size]4,4
Ora pensa alla disposizione:
1 2 3 6 7 8 9
In quanti modi puoi combinare le 3 rosse nelle 7 posizioni disponibili ? [size=150] C[/size]7,3 ( o volendo puoi combinare le 4 nere in [size=150] C[/size]7,4 )
Scusate ma secondo me si sta facendo un po di confusione su di un problema non difficile.
Per Umby premessa mi ritrovo col tuo ragionamento fino quasi alla fine
a patto che tu intenda (non so usare la vostra notazione ma si capisce) $D(n,k)=(n!)/((n-k)!*k!)$
altrimenti non stai usando l'ipergeometrica. Alla fine del tuo discorso, suppongo che tu intenda $C(n,k)=(n!)/((n-k)!)$,
tiri fuori un discorso che centra con l'ordinamento delle palline, perché? I testo del problema non
pone tale condizione. Lascia stare la soluzione presentata come corretta ed i tentativi di interpretarla
(credo che tu abbia fatto questo), stiamo al problema che non è ambiguo nel testo.
Per maxsiviero, cosa intendi dire quando dici "Tra l'altro svolgendo il calcolo, viene lo stesso
risultato ottenuto applicando l'ipergeometrica", almeno intendendo la sintassi come sopra ho descritto,
a me non risulta.
Per balmes299, il risultato corretto è quello ottenibile con l'ausilio dell'ipergeometrica
come descritto da maxsiviero dove nominatore e denominatore sono interpretabili
come casi favorevoli e possibili rispettivamente.
Se ho interpretato male la sintassi ho prendo abbagli mi scuso e sarei felice di avere chiarimenti.
Per Umby premessa mi ritrovo col tuo ragionamento fino quasi alla fine
a patto che tu intenda (non so usare la vostra notazione ma si capisce) $D(n,k)=(n!)/((n-k)!*k!)$
altrimenti non stai usando l'ipergeometrica. Alla fine del tuo discorso, suppongo che tu intenda $C(n,k)=(n!)/((n-k)!)$,
tiri fuori un discorso che centra con l'ordinamento delle palline, perché? I testo del problema non
pone tale condizione. Lascia stare la soluzione presentata come corretta ed i tentativi di interpretarla
(credo che tu abbia fatto questo), stiamo al problema che non è ambiguo nel testo.
Per maxsiviero, cosa intendi dire quando dici "Tra l'altro svolgendo il calcolo, viene lo stesso
risultato ottenuto applicando l'ipergeometrica", almeno intendendo la sintassi come sopra ho descritto,
a me non risulta.
Per balmes299, il risultato corretto è quello ottenibile con l'ausilio dell'ipergeometrica
come descritto da maxsiviero dove nominatore e denominatore sono interpretabili
come casi favorevoli e possibili rispettivamente.
Se ho interpretato male la sintassi ho prendo abbagli mi scuso e sarei felice di avere chiarimenti.
@markowitz
Io ho inteso così:
$D_(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$
$C_(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Io ho inteso così:
$D_(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$
$C_(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}
"maxsiviero":
@markowitz
Io ho inteso così:
Confermo.
@maxsiviero
Hai confuso le combinazioni con le disposizioni
Usando la notazione come indicato da maxsiviero ed Umby i conti tornano anche a me, e mi
ritrovo totalmente nella precedente spiegazione di Umby.
Tuttavia rileggendo ancora il testo dell'esercizio, le prime due righe per intenderci, non vedo
proprio la necessità di considerare l'ordinamento delle palline e quindi utilizzare
lo strumento "disposizioni".
A prescindere da, anche interessanti, identità combinatorie da un punto di vista
probabilistico il problema rimane gestito in modo compiuto dalla variabile aleatoria ipergeometrica
la soluzione proposta presenta inutili complicazioni (inutili, almeno, probabilisticamente parlando).
N.B: la critica è rivolta al libro non a balmes299 che ha esposto un dubbio più che legittimo, spero chiarito.
ritrovo totalmente nella precedente spiegazione di Umby.
Tuttavia rileggendo ancora il testo dell'esercizio, le prime due righe per intenderci, non vedo
proprio la necessità di considerare l'ordinamento delle palline e quindi utilizzare
lo strumento "disposizioni".
A prescindere da, anche interessanti, identità combinatorie da un punto di vista
probabilistico il problema rimane gestito in modo compiuto dalla variabile aleatoria ipergeometrica
la soluzione proposta presenta inutili complicazioni (inutili, almeno, probabilisticamente parlando).
N.B: la critica è rivolta al libro non a balmes299 che ha esposto un dubbio più che legittimo, spero chiarito.
"Umby":
@maxsiviero
Hai confuso le combinazioni con le disposizioni
Io invece ho confuso il nick:
il messaggio era ovviamente per markowitz (Sorry.
)
"markowitz":
la soluzione proposta presenta inutili complicazioni (inutili, almeno, probabilisticamente parlando).
N.B: la critica è rivolta al libro...
Inutili? Dipende... sul mio vecchio (issimo) libro di Calcolo di Probabilità ci sono un sacco di esercizi svolti così all'inizio (probabilità calcolate direttamente con la combinatoria), e poi magari quattro capitoli dopo un esercizio svolto tipo "si prenda l'es. 1.10 e si calcoli bla bla..." facendo vedere la connessione.
Mi sembra un approccio valido, o almeno io mi ci sono trovato bene.
Anche io, nel mio piccolo, trovo didatticamente valido usare il più possibile la combinatoria, specie all'inizio. E' vero che è complicata (io sono una frana) però aumenta il feeling probabilistico più del ricorso a distribuzioni di v.a. note.
Cerco di spiegare meglio quello che intendevo dire.
Per prima cosa, se il libro da cui è preso l'esercizio presenta quella soluzione anche io parto dal
presupposto che l'autore avesse in mente una logica per la presentazione degli argomenti e, quindi,
la soluzione degli esercizi. Altri libri come quello di Rggb o l'impostazione di dissonance
seguono linee simili? Bé sicuramente non sono io che devo spiegare a loro come procedere.
Il punto per me è nell'impostazione del lavoro. Rggb dice che che è didatticamente valido presentare in punti
diversi del programma lo stesso esercizio risolto in modi differenti. Sacrosanto!
anche io la penso così ed il libro che usavo era praticamente costruito su tale linea. Il punto
e che ogni volta si partiva da una logica dalla quale ci si riconduceva allo strumento di lavoro APPROPRIATO,
si risolveva il problema ed infine si discutevano le analogie (tra l'altro tale approccio non è valido solo in
Probabilità).
Adesso la soluzione presentata dal libro è corretta.
Un mio ex professore di Econometria diceva
"Tutte le equazioni (si intende giuste) ci dicono qualcosa (si intende di potenzialmente utile).
L'importante è capire cosa ci dicono".
Come avevo già detto ci sarà sicuramente qualche interessante identità combinatoria
da scrutare nella soluzione esposta ma semplicemente, nel contesto dell'esercizio, non capisco che cosa serva.
Sul mio libro introducendo l'analisi combinatoria, sostanzialmente si dice:
considerando la definizione classica di probabilità ovvero CASI FAVOREVOLI/CASI POSSIBILI
dove sottointendiamo i casi elementari i casi elementari come equiprobabili, si nota
che la soluzione del problema si riconduce al contare la numerosità delle due classi
di eventi.
Tra l'altro il dubbio dell'autore del post, se ho ben capito, era proprio quello di
non riuscire a ricondursi alla numerosità dei casi FAVOREVOLI e POSSIBILI rispettivamente.
Infatti, riporto il testo,
Chi mi sa spiegare perchè avendo 5 palline rosse su 9 la probabilità di estrarre 3 palline rosse con 7 estrazioni
è data dal seguente calcolo:
CASI POSSIBILI: D9,7
CASI FAVOREVOLI: C7,3 x D5,3 x D4,4
perché tirare fuori le disposizioni? Dal testo si capisce subito che l'ordinamento delle palline non è rilevante!
Se le inseriamo complichiamo noi il problema mentre quello che si dovrebbe fare è semplificarlo fino al
ritrovamento della soluzione. Se poi si vuole verificare la dimestichezza con l'utilizzo delle disposizioni
basta proporre un problema dove sia rilevante l'ordinamento.
Ma soprattutto, anche se ai fini didattici si vuole prima complicare per mostrare l'utilizzo di strumenti più
generali, poi si deve semplificare fino a ricondursi, parlando di combinatoria,
al rapporto FAVOREVOLI/POSSIBILI ! Ma il testo non lo fa!!! Ed è qui che rimango perplesso.
E mi pongo dubbi sull' APPROPRIATEZZA (almeno didattica) dello strumento usato.
Dopodiché può essermi anche sfuggito qualcosa.
Per prima cosa, se il libro da cui è preso l'esercizio presenta quella soluzione anche io parto dal
presupposto che l'autore avesse in mente una logica per la presentazione degli argomenti e, quindi,
la soluzione degli esercizi. Altri libri come quello di Rggb o l'impostazione di dissonance
seguono linee simili? Bé sicuramente non sono io che devo spiegare a loro come procedere.
Il punto per me è nell'impostazione del lavoro. Rggb dice che che è didatticamente valido presentare in punti
diversi del programma lo stesso esercizio risolto in modi differenti. Sacrosanto!
anche io la penso così ed il libro che usavo era praticamente costruito su tale linea. Il punto
e che ogni volta si partiva da una logica dalla quale ci si riconduceva allo strumento di lavoro APPROPRIATO,
si risolveva il problema ed infine si discutevano le analogie (tra l'altro tale approccio non è valido solo in
Probabilità).
Adesso la soluzione presentata dal libro è corretta.
Un mio ex professore di Econometria diceva
"Tutte le equazioni (si intende giuste) ci dicono qualcosa (si intende di potenzialmente utile).
L'importante è capire cosa ci dicono".
Come avevo già detto ci sarà sicuramente qualche interessante identità combinatoria
da scrutare nella soluzione esposta ma semplicemente, nel contesto dell'esercizio, non capisco che cosa serva.
Sul mio libro introducendo l'analisi combinatoria, sostanzialmente si dice:
considerando la definizione classica di probabilità ovvero CASI FAVOREVOLI/CASI POSSIBILI
dove sottointendiamo i casi elementari i casi elementari come equiprobabili, si nota
che la soluzione del problema si riconduce al contare la numerosità delle due classi
di eventi.
Tra l'altro il dubbio dell'autore del post, se ho ben capito, era proprio quello di
non riuscire a ricondursi alla numerosità dei casi FAVOREVOLI e POSSIBILI rispettivamente.
Infatti, riporto il testo,
Chi mi sa spiegare perchè avendo 5 palline rosse su 9 la probabilità di estrarre 3 palline rosse con 7 estrazioni
è data dal seguente calcolo:
CASI POSSIBILI: D9,7
CASI FAVOREVOLI: C7,3 x D5,3 x D4,4
perché tirare fuori le disposizioni? Dal testo si capisce subito che l'ordinamento delle palline non è rilevante!
Se le inseriamo complichiamo noi il problema mentre quello che si dovrebbe fare è semplificarlo fino al
ritrovamento della soluzione. Se poi si vuole verificare la dimestichezza con l'utilizzo delle disposizioni
basta proporre un problema dove sia rilevante l'ordinamento.
Ma soprattutto, anche se ai fini didattici si vuole prima complicare per mostrare l'utilizzo di strumenti più
generali, poi si deve semplificare fino a ricondursi, parlando di combinatoria,
al rapporto FAVOREVOLI/POSSIBILI ! Ma il testo non lo fa!!! Ed è qui che rimango perplesso.
E mi pongo dubbi sull' APPROPRIATEZZA (almeno didattica) dello strumento usato.
Dopodiché può essermi anche sfuggito qualcosa.
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