Probabilità di due Gaussiane std e non std

[Tintorz]

Siano $X,Y$ v.a. indipendenti con $X~N(0,1),Y~N(1,4)$.
Calcola la probabilità che almeno una delle due sia positiva.
Sapendo che almeno una variabile ha assunto valore positivo calcolare la probabilità condizionata che $X>0$.

Premetto che ho svolto tutto il resto con l'intenzione di usare la formula dell'unione insiemistica:

$\mathbb{P}(X>0\cupY>0)= \mathbb{P}(X>0) + \mathbb{P}(Y>0) -\mathbb{P}(X>0\capY>0)$

Standardizzo $Y: Z = (Y - 1)/2 => Y = 2Z + 1$.

$\mathbb{P}(0<=Y<=oo) = \mathbb{P}(-1/2<=Z<=oo) = 1 - \phi(-1/2) = 0.5 + \phi(1/2) = 0.5 + 0.191 = 0.691$

$\mathbb{P}(0<=X<=oo) = 1 - \phi(0) = 0.5 $

Qui ho due valori differenti purtroppo, uno ottenuto usando la proprietà di indipendenza e l'altro applicando la logica insiemistica:
$\mathbb{P}(X>0\capY>0) =\mathbb{P}(X>0)*\mathbb{P}(Y>0)=0,5*0,691 = 0,346$
$\mathbb{P}(X>0\capY>0) =\mathbb{P}(-1/2 Quale dei due è corretto? Ho provato ad usare entrambe le logiche anche nel seguente:

$ \mathbb{P}(X>0\cupY>0)=\mathbb{P}(X>0\cup Z>-1/2)= \mathbb{P}(Z>-1/2) = 0,808 $
$ \mathbb{P}(X>0\cupY>0)=\mathbb{P}(X>0) + \mathbb{P}(Y>0) -\mathbb{P}(X>0)*\mathbb{P}(Y>0)= 0,5 + 0,691 - 0,346 =\= 0,845 $
$ \mathbb{P}(X>0 | X>0\cup Y>0) = (0,5)/(0,845) = 0,592 $

[ghira1]

"ingetor":Siano $X,Y$ v.a. indipendenti con $X~N(0,1),Y~N(1,4)$.


Calcola la probabilità che almeno una delle due sia positiva.

$1-\Pr(\text{entrambi negativi})$

$=1-\phi(0) \times \phi(-\frac{1}{2})$

$=1-0,5\times0,3085$ (ho usato le tavole statistiche stampate)

$=0,84575$

"ingetor":Sapendo che almeno una variabile ha assunto valore positivo calcolare la probabilità condizionata che $X>0$.

Non so cosa stavi cercando di fare.

$\frac{0,5}{0,84575}=0,591$ circa ?

[Bokonon]

"ingetor":
Standardizzo $Y: Z = (Y - 1)/4 => Y = 4Z + 1$.

Si divide per $sigma=2$

[Tintorz]

"ghira":[quote="ingetor"]Siano $X,Y$ v.a. indipendenti con $X~N(0,1),Y~N(1,4)$.


Calcola la probabilità che almeno una delle due sia positiva.

$1-\Pr(\text{entrambi negativi})$

$=1-\phi(0) \times \phi(-\frac{1}{2})$

$=1-0,5\times0,3085$ (ho usato le tavole statistiche stampate)

$=0,84575$

"ingetor":Sapendo che almeno una variabile ha assunto valore positivo calcolare la probabilità condizionata che $X>0$.

Non so cosa stavi cercando di fare.

$\frac{0,5}{0,84575}=0,591$ circa ?[/quote]

Per il secondo punto tutto OK.
Per il primo, non capisco se hai tolto l'intersezione delle probabilità dal totale facendo un errore o altre operazioni che non comprendo.

[ghira1]

Potrei benissimo aver fatto un errore. Quale errore?

[Tintorz]

Io avrei scritto $\phi(0) + \phi(-1/2) - \phi(0)*\phi(-1/2)$

[ghira1]

Per $\phi(x)$ intendo la probabilità che una variabile $N(0,1)$ sia $\le x$. Magari non è questo il nome usuale. Comunque, ho detto cosa stavo calcolando. Mi sono sbagliato? Dove? Magari si chiama $\Phi$.

[Tintorz]

Senza dubbio. Ma non capisco se quel prodotto di probabilità $\phi(0)*\phi(-1/2) $ che hai scritto sia l'intersezione o volevi fare un'altro calcolo. Era quella?

[ghira1]

Quello che ho scritto sembra quello che intendevo scrivere. Mi sento completamente perso a questo punto. Cosa sarebbe il mio errore? Magari c'è ma non ti seguo.

[Tintorz]

Non c'è errore perdonami, hai usato tavole impostate differentemente dalle mie. Sulle mie $\phi$ è impostata solo per valori positivi quindi devo trasformarle in $\phi$ positivi come ho fatto sopra ora che ho corretto. I valori del risultato con le proprietà di indipendenza applicata mi tornano uguali ai tuoi. Perché invece usando quelli insiemistici il risultato è differente? Puoi controllare che abbia scritto giusto? Ho corretto direttamente il post iniziale.

[ghira1]

Speravo di aver detto chiaramente che avrei calcolato "$1-\Pr(\text{entrambi negativi})$" - sembrava la cosa più naturale da fare. Immaginavo che il problema fosse $\phi$ contro $\Phi$ o qualcosa del genere. In effetti anch'io ho visto tavole impostate in vari modi.

[ghira1]

"Sergio":A me sembra un po' perverso costringere a usare le tavole

Non sono costretto ad usarle. Avevo le mie tavole a portata di mano, tutto qui.

[Bokonon]

"Sergio":
A me sembra un po' perverso costringere a usare le tavole quando ormai da tempo sono disponibili programmi

Anche durante gli esami?

[ghira1]

"Bokonon":[quote="Sergio"]
A me sembra un po' perverso costringere a usare le tavole quando ormai da tempo sono disponibili programmi

Anche durante gli esami? [/quote]

Alcune calcolatrici non tanto super hanno $\Phi$ al giorno d'oggi. Altre cose statistiche magari no.

[Bokonon]

@ghira
E le fanno usare agli esami? (è una domanda, io vengo da altri tempi)

[ghira1]

"Bokonon":@ghira
E le fanno usare agli esami? (è una domanda, io vengo da altri tempi)

Non lo so. Mi pare di aver visto calcolatrici abbastanza normali (nemmeno grafiche) vari anni fa ormai con un pulsante $\phi$ o $\Phi$ da qualche parte. Si possono usare negli esami? Boh. Dipenderà dall'esame, magari.

[ghira1]

Ho controllato sulle mie tre calcolatrici Casio. Non vedo $\phi$ o $\Phi$. Ma hanno tutte almeno 13 anni, forse qualcuna molto di più.

[Tintorz]

"Sergio":[quote="Bokonon"]Anche durante gli esami?

Touché

"ingetor":Non c'è errore perdonami, hai usato tavole impostate differentemente dalle mie. Sulle mie $\phi$ è impostata solo per valori positivi quindi devo trasformarle in $\phi$ positivi come ho fatto sopra

Ti consiglio allora queste tavole.
Con queste, trovi subito $P(-1/2 Volendo, data la simmetria della distribuzione normale con media 0, $P(-1/2

"ingetor":
Qui ho due valori differenti purtroppo, uno ottenuto usando la proprietà di indipendenza e l'altro applicando la logica insiemistica:
$\mathbb{P}(X>0\capY>0) =\mathbb{P}(X>0)*\mathbb{P}(Y>0)=0,5*0,691 = 0,346$
$\mathbb{P}(X>0\capY>0) =\mathbb{P}(-1/2 Quale dei due è corretto?

Il primo è corretto, e hai: \(0.5+0.6915-0.5 \times 0.6915=0.5+0.6915-0.34575=0.84575\).
Il secondo non lo capisco. Tra l'altro, $Phi(1/2)=0.6915$.

"ingetor":$ \mathbb{P}(X>0\cupY>0)=\mathbb{P}(X>0\cup Z> -1/2)= \mathbb{P}(Z> -1/2) = 0,808 $

Anche questo non lo capisco. Perché $X>0$ sparisce? Inoltre $0.808$ è la probabilità che una normale standardizzata sia minore di $0.87$, o maggiore di $-0.87$. Da dove salta fuori?[/quote]

Ti ringrazio per il suggerimento, ma le mie tavole si leggono in maniera molto differente, ad esempio non ci sono quei valori sulla prima linea orizzontale e sinceramente non comprendo cosa siano. Di primo acchito direi una specie di grado di libertà ma non siamo nella T-student, per di più le mie arrivano a z=4 ma queste sembrano un po' incomplete.

[ghira1]

"ingetor":non ci sono quei valori sulla prima linea orizzontale e sinceramente non comprendo cosa siano.

Sono la seconda cifra di $Z$ dopo la virgola.