Probabilità condizionata e indipendente
Ciao,
Sto combattendo con la statistica. Sto studiando le probabilità indipendenti e dipendenti e probabilità condizionata.
C'è un esercizio che non mi è chiaro. Questo dice:
Da un'urna contenente 3 palline rosse, 4 verdi e 5 blu, vengono estratte 3 palline senza reimbussolarle. Determinare la probabilità che esse risultino tutte di colore diverso.
Allora, il mio ragionamento è stato che sono eventi dipendenti perchè le palline non vengono reimbussolate, poi considerarle come eventi congiunti di eventi opposti, cioè:
E1=la prima pallina non è rossa,
$ Pr(E1)=9/12=3/4 $
E2=la seconda non è verde, tenendo conto che le possibilità ora dimunuiscono dato che la pallina non viene reimbussolata
$ Pr(E2)=8/11 $
E3=la terza non è blu.
$ Pr(E3)=8/10=4/5 $
Poi le moltiplico, e cosi trovo il risultato
$ Pr(E1)*Pr(E2)Pr(E3)=3/4*8/11*4/5=96/220=24/55 $
Ma mi sembra di avere sbagliato..perchè infatti le probabilità devono seguire quest'ordine? cioè, la prima non è rossa la seconda non è verda, la terza non è blu? non poteva essere al contrario? l'esercizio non specifica un ordine..allora come devo tenere conto che non mi viene dato un ordine di uscita delle palline?
Grazie mille,
Ciao
Sto combattendo con la statistica. Sto studiando le probabilità indipendenti e dipendenti e probabilità condizionata.
C'è un esercizio che non mi è chiaro. Questo dice:
Da un'urna contenente 3 palline rosse, 4 verdi e 5 blu, vengono estratte 3 palline senza reimbussolarle. Determinare la probabilità che esse risultino tutte di colore diverso.
Allora, il mio ragionamento è stato che sono eventi dipendenti perchè le palline non vengono reimbussolate, poi considerarle come eventi congiunti di eventi opposti, cioè:
E1=la prima pallina non è rossa,
$ Pr(E1)=9/12=3/4 $
E2=la seconda non è verde, tenendo conto che le possibilità ora dimunuiscono dato che la pallina non viene reimbussolata
$ Pr(E2)=8/11 $
E3=la terza non è blu.
$ Pr(E3)=8/10=4/5 $
Poi le moltiplico, e cosi trovo il risultato
$ Pr(E1)*Pr(E2)Pr(E3)=3/4*8/11*4/5=96/220=24/55 $
Ma mi sembra di avere sbagliato..perchè infatti le probabilità devono seguire quest'ordine? cioè, la prima non è rossa la seconda non è verda, la terza non è blu? non poteva essere al contrario? l'esercizio non specifica un ordine..allora come devo tenere conto che non mi viene dato un ordine di uscita delle palline?
Grazie mille,
Ciao
Risposte
Attento che negli eventi da te descritti non sempre escono tre palline di colore diverso. Ad esempio può uscire una verde, poi una blu e di nuovo una verde.
Invece ti conviene calcolare la probabilità che esca una pallina rossa, poi una verde e poi una blu (ovviamente sempre tenendo conto della pallina che è stata estratta).
Osserva che l'ordine in cui scegli le palline non cambia la probabilità perché al numeratore avrai sempre $3$, $4$ e $5$ e al denominatore $12$, $11$ e $10$, soltanto in ordini diversi.
Ora qual è la probabilità che escano tre palline di colore diverse? E' la probabilità che escano le palline nell'ordine:
(rosso,verde,blu) oppure (rosso,blu,verde) oppure (verde,rosso,blu) eccetera. Per quello che abbiamo detto questi eventi hanno tutti uguale probabilità. Inoltre, sono eventi disgiunti, quindi basta sommare le probabilità. Allora ti basta sapere quanti sono questi eventi e a questo scopo devi contare le permutazioni di $(\text{rosso,verde,blu})$(che è come contare le permutazioni di $(1,2,3)$)
Invece ti conviene calcolare la probabilità che esca una pallina rossa, poi una verde e poi una blu (ovviamente sempre tenendo conto della pallina che è stata estratta).
Osserva che l'ordine in cui scegli le palline non cambia la probabilità perché al numeratore avrai sempre $3$, $4$ e $5$ e al denominatore $12$, $11$ e $10$, soltanto in ordini diversi.
Ora qual è la probabilità che escano tre palline di colore diverse? E' la probabilità che escano le palline nell'ordine:
(rosso,verde,blu) oppure (rosso,blu,verde) oppure (verde,rosso,blu) eccetera. Per quello che abbiamo detto questi eventi hanno tutti uguale probabilità. Inoltre, sono eventi disgiunti, quindi basta sommare le probabilità. Allora ti basta sapere quanti sono questi eventi e a questo scopo devi contare le permutazioni di $(\text{rosso,verde,blu})$(che è come contare le permutazioni di $(1,2,3)$)
Grazie per la risposta. Perchè sono disgiunti? non sono congiunti dato che devono uscire tutti e tre?
Di quali eventi parli? Io sto parlando degli eventi: esce (nell'ordine) rosso-verde-blu, esce rosso-blu-verde, ecc. Questi sono eventi disgiunti, non possono verificarsi contemporaneamente. E l'evento "Escono tre palline di colore diverso" è dato dall'unione di questi 6 eventi.
A certo! non ci avevo riflettuto a suddivedere gli eventi cosi!..pensavo ti riferissi all'evento esce rosso, esce verde esce blu
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