Probabilità condizionata
Ciao, ho un esercizio sulla probabilità condizionata che dice : da un mazzo di 52 carte qual è la probabilità di pescare un 2 carta di cuori? quale quella di pescare un jack,sapendo che sono 4 in tutto e quale quella di pescare L'uno di quadri?
Allora io ho scritto che la P(2 carta cuori)=1/52; la P(jack)=4/52; la P(1 carta quadri)=1/52.
Fin qui credo sia giusto, poi mi chiede la P(carta cuori|carta quadri), e la P(carta jack|carta quadri), io a mente ho fatto che P(carta cuori|jack)=1/51 e che P(jack|carta quadri)=4/51, solo che non mi coincidono con l'utilizzo della formula P(A|B)- P(A,B)/P(B).
Qualcuno saprebbe dirmi il perché?
Allora io ho scritto che la P(2 carta cuori)=1/52; la P(jack)=4/52; la P(1 carta quadri)=1/52.
Fin qui credo sia giusto, poi mi chiede la P(carta cuori|carta quadri), e la P(carta jack|carta quadri), io a mente ho fatto che P(carta cuori|jack)=1/51 e che P(jack|carta quadri)=4/51, solo che non mi coincidono con l'utilizzo della formula P(A|B)- P(A,B)/P(B).
Qualcuno saprebbe dirmi il perché?
Risposte
si la prima parte è corretta, la seconda no.
Anche facendolo a mente P(carta cuori|carta quadri) non è 1/51 in quanto hai 13 carte di uno stesso seme, quindi hai 13 possibilità di pescare una carta di cuori.
Anche facendolo a mente P(carta cuori|carta quadri) non è 1/51 in quanto hai 13 carte di uno stesso seme, quindi hai 13 possibilità di pescare una carta di cuori.
Sinceramente credo che ci sia bisogno, almeno per me, di una spiegazione. Cosa è P(carta cuori|carta quadri)? L'evento aleatorio "carta cuori" immagino sia "pescare una carta di cuori", ma il secondo? Con "carta quadri" intendi "pescare una carta di quadri" oppure "la carta precedente è stata di quadri"? Perché nel primo caso è evidentemente zero (se sai che è quadri, di sicuro non è cuori), nel secondo caso l'evento condizionante abbassa di 1 il numero di casi totali (ammettendo che sia un'estrazione senza rimessa, perché se è con rimessa non c'è condizionamento).
Intendevo pescare una carta di quadri ! comunque grazie ad entrambi credo di aver capito dove ho sbagliato, è effettivamente un esercizio banale, solo che non conoscendo il numero di carte, per esempio non sapevo fossero 13 le carte dello stesso seme, forse per questo ho sbagliato la probabilità condizionata.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Io sarei propenso a che tu ci mostri la soluzione, così che noi possiamo correggere (e spiegarti!) i tuoi eventuali errori.
Sono nuovo anche io, in questo forum, tutto sommato, ma ho capito che è un posto dove "avere soluzioni" è sono una parte di ciò che si può ottenere; l'altra parte, importante, è "ricevere spiegazioni".
Sono nuovo anche io, in questo forum, tutto sommato, ma ho capito che è un posto dove "avere soluzioni" è sono una parte di ciò che si può ottenere; l'altra parte, importante, è "ricevere spiegazioni".
Hai ragione, allora cerco di farti capire il modo in cui continuerei io, allora visto che la prima parte dell'esercizio è corretta, continuo nel cercare la risoluzione della probabilità condizionata P(A|B), questo significa trovare la probabilità che si verifichi A dopo che si è verificato B, quindi trovare quale sia la probabilità che pesco un 2 di cuori dopo che ho pescato un Jack, allora io ho pensato che se in totale le carte sono 52, dopo aver pescato un jack, le carte saranno 51, perciò la probabilità che io pesco il 2 di cuori non è più 1/52 ma 1/51, o no?
E se continuo con la P(B|C) cioè che io pesco un Jack dopo che ho pescato una qualsiasi carta di cuori, allora in questo se pescassi una carta di quadri mi rimarrebbero 51 carte nel mazzo, ma la probabilità di pescare un Jack aumenta, cioè non è più 4/52 ma 4/51.
Ho provato a fare altri ragionamenti eppure questo mi sembra l'unico o.O
E se continuo con la P(B|C) cioè che io pesco un Jack dopo che ho pescato una qualsiasi carta di cuori, allora in questo se pescassi una carta di quadri mi rimarrebbero 51 carte nel mazzo, ma la probabilità di pescare un Jack aumenta, cioè non è più 4/52 ma 4/51.
Ho provato a fare altri ragionamenti eppure questo mi sembra l'unico o.O
Prima di valutare quanto hai detto, ti faccio capire cosa intendevo col commento precedente. Tu hai scritto
A rigori questo non è corretto. La quantità $P(A|B)$ che io preferisco scrivere come $Pr\{A|B\}$ (riservando la $P$ ad un evento, quale ad esempio $P = $ "esce un numero pari") è la probabilità che si verifichi l'evento $A$ sapendo che si è verificato l'evento $B$. Non c'è necessariamente un prima e un dopo. Se $A = $ "ho pescato il 2 di cuori" e $B =$ "ho pescato un Jack", allora $P(A|B) = 0$, poiché se ho pescato il Jack di sicuro non ho pescato il 2 di cuori (perché sono due carte diverse! O esce l'una, o esce l'altra). Se invece $B = $ "all'estrazione precedente ho pescato un Jack e non lo rimetto nel mazzo", allora è come dici tu,
ma ti prego di capire la differenza. L'evento condizionante non deve per forza riferirsi al passato. Anzi, potrebbe essere anche un evento futuro (per quanto dal punto di vista concreto possa avere poco senso), ad esempio "Qual è la probabilità che la prima carta che pesco sia di quadri, sapendo che che le prime 4 carte che pesco sono Assi?". Risposta "1, perché se so che pesco 4 assi, di sicuro uno di essi sarà di quadri".
Ad ogni modo penso che le precisazioni all'estrazione precedente e non lo rimetto nel mazzo, se non le hai dimenticate tu, siano sottintese. In problemi più complessi potresti non essere autorizzato a sottintendere qualcosa, per cui dovresti notare queste "sottigliezze".
No, qui hai commesso un errore. Ti consiglierei di definire sempre per bene i tuoi eventi. In questo caso $B = $ "pesco un Jack (alla seconda estrazione)" e $C = $ "(alla prima estrazione) ho pescato una [strike]qualsiasi[/strike] carta di cuori". La parola barrata non è sbagliata, ma superflua, in quanto "una" è articolo indeterminativo, quindi sottintende che non c'è una preferenza, a meno di ulteriori specificazioni.
La probabilità $4/51$ ha un senso, ma non quello che credi. Preferisco non darti direttamente la soluzione, ma farti una domanda, piuttosto: se la carta di quadri che hai pescato è proprio uno dei 4 Jack? Ragiona e richiedi aiuto, se necessario
"NatP":
P(A|B) [...] la probabilità che si verifichi A dopo che si è verificato B
A rigori questo non è corretto. La quantità $P(A|B)$ che io preferisco scrivere come $Pr\{A|B\}$ (riservando la $P$ ad un evento, quale ad esempio $P = $ "esce un numero pari") è la probabilità che si verifichi l'evento $A$ sapendo che si è verificato l'evento $B$. Non c'è necessariamente un prima e un dopo. Se $A = $ "ho pescato il 2 di cuori" e $B =$ "ho pescato un Jack", allora $P(A|B) = 0$, poiché se ho pescato il Jack di sicuro non ho pescato il 2 di cuori (perché sono due carte diverse! O esce l'una, o esce l'altra). Se invece $B = $ "all'estrazione precedente ho pescato un Jack e non lo rimetto nel mazzo", allora è come dici tu,
"NatP":
la probabilità che pesco un 2 di cuori dopo che ho pescato un Jack, allora io ho pensato che se in totale le carte sono 52, dopo aver pescato un jack, le carte saranno 51, perciò la probabilità che io pesco il 2 di cuori non è più 1/52 ma 1/51, o no?
ma ti prego di capire la differenza. L'evento condizionante non deve per forza riferirsi al passato. Anzi, potrebbe essere anche un evento futuro (per quanto dal punto di vista concreto possa avere poco senso), ad esempio "Qual è la probabilità che la prima carta che pesco sia di quadri, sapendo che che le prime 4 carte che pesco sono Assi?". Risposta "1, perché se so che pesco 4 assi, di sicuro uno di essi sarà di quadri".
Ad ogni modo penso che le precisazioni all'estrazione precedente e non lo rimetto nel mazzo, se non le hai dimenticate tu, siano sottintese. In problemi più complessi potresti non essere autorizzato a sottintendere qualcosa, per cui dovresti notare queste "sottigliezze".
"NatP":
E se continuo con la P(B|C) cioè che io pesco un Jack dopo che ho pescato una qualsiasi carta di cuori, allora in questo se pescassi una carta di quadri mi rimarrebbero 51 carte nel mazzo, ma la probabilità di pescare un Jack aumenta, cioè non è più 4/52 ma 4/51.
No, qui hai commesso un errore. Ti consiglierei di definire sempre per bene i tuoi eventi. In questo caso $B = $ "pesco un Jack (alla seconda estrazione)" e $C = $ "(alla prima estrazione) ho pescato una [strike]qualsiasi[/strike] carta di cuori". La parola barrata non è sbagliata, ma superflua, in quanto "una" è articolo indeterminativo, quindi sottintende che non c'è una preferenza, a meno di ulteriori specificazioni.
La probabilità $4/51$ ha un senso, ma non quello che credi. Preferisco non darti direttamente la soluzione, ma farti una domanda, piuttosto: se la carta di quadri che hai pescato è proprio uno dei 4 Jack? Ragiona e richiedi aiuto, se necessario
Beh...ho capito cosa intendi per sottigliezze, effettivamente non ci avevo riflettuto .. adesso, non avevo neanche ipotizzato che alla prima estrazione potesse uscirmi una carta di quadri che è proprio un Jack, allora si potrebbero verificare due casi, o no? Uno in cui è come hai detto tu che alla prima estrazione pesco un Jack carta di quadri, e in questo caso la probabilità che io pesco un secondo Jack alla seconda estrazione è 3/51, e poi un secondo caso in cui invece alla prima estrazione pesco un carta di quadri che non è un Jack e allora alla seconda estrazione la probabilità che pesco un Jack è 4/51, per questo dicevi che ha un senso, ma non quello che credo?
Esatto.
Formalizzando, abbiamo allora
$B = $ "pesco un Jack (alla seconda estrazione)"
$C = $ "pesco una carta di quadri (alla prima estrazione)"
$D = $ "pesco il Jack di quadri (alla prima estrazione)"
$E = $ "pesco una carta di quadri che non un Jack (alla prima estrazione)"
e tu hai correttamente individuato che
$Pr{B|D} = 3/51$ e $Pr{B|E} = 4/51$.
Ora come usiamo queste due probabilità? Che relazione c'è tra gli eventi $C$, $D$ ed $E$? Come sfruttiamo questa relazione?
Formalizzando, abbiamo allora
$B = $ "pesco un Jack (alla seconda estrazione)"
$C = $ "pesco una carta di quadri (alla prima estrazione)"
$D = $ "pesco il Jack di quadri (alla prima estrazione)"
$E = $ "pesco una carta di quadri che non un Jack (alla prima estrazione)"
e tu hai correttamente individuato che
$Pr{B|D} = 3/51$ e $Pr{B|E} = 4/51$.
Ora come usiamo queste due probabilità? Che relazione c'è tra gli eventi $C$, $D$ ed $E$? Come sfruttiamo questa relazione?
Quando mi dici relazione tra C,D,E intendi se c'è qualche dipendenza tra loro? In qualche modo C non è dato dalla probabilità di E e quella D insieme?
Sì, una dipendenza insiemistica, più che altro, e dunque logica.
IMPORTANTE: Sono stato un po' superficiale. Il ragionamento che ti sto portando a fare porta alla risposta esatta, alla quale si arriva però facendo un'osservazione alquanto banale.
Per questo motivo ti posto io il finale della storia verso il quale ti conducevo. Mi aspettavo che notassi che $D \cup E = C$ e $D \cap E = \emptyset$, pertanto puoi scrivere $Pr\{B|C\} = Pr\{B|D\}\times Pr\{D|C\} + Pr\{B|E\}\times Pr\{E|C\} = 3/51 \times 1/13 + 4/51 \times 12/13 = 1/13$.
Comunque ripeto. Il risultato è ovvio per tutt'altro motivo. Anzi, il risultato ottenuto come ho fatto, se vuoi, ne è una prova matematica (inutile). Se provi sulle 40 carte napoletane il risultato è analogo ($1/10$ invece di $1/13$).
IMPORTANTE: Sono stato un po' superficiale. Il ragionamento che ti sto portando a fare porta alla risposta esatta, alla quale si arriva però facendo un'osservazione alquanto banale.
Per questo motivo ti posto io il finale della storia verso il quale ti conducevo. Mi aspettavo che notassi che $D \cup E = C$ e $D \cap E = \emptyset$, pertanto puoi scrivere $Pr\{B|C\} = Pr\{B|D\}\times Pr\{D|C\} + Pr\{B|E\}\times Pr\{E|C\} = 3/51 \times 1/13 + 4/51 \times 12/13 = 1/13$.
Comunque ripeto. Il risultato è ovvio per tutt'altro motivo. Anzi, il risultato ottenuto come ho fatto, se vuoi, ne è una prova matematica (inutile). Se provi sulle 40 carte napoletane il risultato è analogo ($1/10$ invece di $1/13$).
Ok... credo di aver capito, per quanto possa sembrare banale un minimo di ragionamento deve pur essere fatto, grazie di avermi guidato e poi portato alla conclusione 
La strada più facile era quella dell'uguaglianza. 
Eheh, nel mazzo originario non c'è razzismo: per ogni valore della carta ci sono 4 semi, per ogni seme ci sono 13 carte. i Due eventi sono statisticamente indipendenti. Questo diventa evidente se visualizzi le probabilità con un disegno, come quello che ti allego.
Eheh, nel mazzo originario non c'è razzismo: per ogni valore della carta ci sono 4 semi, per ogni seme ci sono 13 carte. i Due eventi sono statisticamente indipendenti. Questo diventa evidente se visualizzi le probabilità con un disegno, come quello che ti allego.
Wow .. è vero O.o ... sei un grande grazie !
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