Perché queste due medie sono diverse?

[Alfiere90]

Un bussolotto contiene $4$ dadi, di cui due onesti e due truccati in modo che il $6$ esca con probabilità $1/4$, mentre gli altri risultati siano equiprobabili.
L'esperimento consiste nell'estrarre una coppia di dadi e lanciarli fino a quando si hanno due $6$.
Detto $X$ il numero di lanci, determinare $PMF$ e $Media$ di $X$.

$P(6,6| D_OD_O) = 1/6 * 1/6 = 1/36$
$P(6,6|D_OD_T) = 1/6*1/4 =1/24$
$P(6,6|D_TD_T) = 1/4 * 1/4 = 1/16$

$P(D_OD_O) = 1/6$
$P(D_OD_T) = 4/6$
$P(D_TD_T) = 1/6$

$PMF = (35/36)^(k-1) * 1/36 * 1/6 + (23/24)^(k-1) * 1/24 * 4/6 +(15/16)^(k-1) * 1/16 * 1/6$

Utilizzando il teorema della media condizionata :

$E[X] = E\ [X|D_OD_O]*P(D_OD_O) + E\ [X|D_OD_T]*P(D_OD_T) + E\ [X|D_TD_T]*P(D_TD_T) =$
$36*1/6 + 24*4/6+16*1/6 = 24,67$

Tuttavia, se sfrutto direttamente la proprietà per cui la media di una distribuzione geomtrica di ragione $p$ ha media $1/p$ ottengo un valore leggermente diverso :

$P(6,6) = P(6,6| D_OD_O)*P(D_OD_O) + P(6,6| D_OD_T)*P(D_OD_T) + P(6,6| D_TD_T)*P(D_TD_T) = 1/6 * 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/4 * 4/6 + 1/4 * 1/4 * 1/6 = 1/216 + 1/36 + 1/96 = 37/864$

$PMF = (1-37/864)^(k-1) * (37/864)$
$E[X] = 1/p = 864/37 = 23,35$

Quale delle due è giusta?

[Quinzio]

"Alfiere90":
Quale delle due è giusta?

La prima.

Nel secondo caso, cambia il processo.
Ovvero si estraggono 2 dadi, li si lanciano e se viene 6,6 ci si ferma, altrimenti si estrae una nuova coppia di dadi e li si lancia, e cosi' via fino ad avere 6,6.
Quando si ha 6,6 si registra il numero lanci $N$ e poi si riparte con i lanci.
La media e' la media degli $N$.