Passaggio di dimostrazione
Nella dimostrazione di un teorema c'è un passaggio che non riesco a capire.
Sia $X=\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ un processo adattato e q.c. continuo.
Sia $\pi^{(n)=\{0=t_0^{(n)}<\ldots t_{k_n}^{(n)}=T\}$ una partizione dell'intervallo $[0,T]$ di passo tendente a $0$.
Si definisce $X_u^{(n)}=\sum_{i=0}^{k_n-1}X_{t_i^{(n)}}\mathbb{1}_{[t_i^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}]}(u)$.
Il passaggio che non capisco è che siccome $\t\toX_t$ è uniformemente continua posso concludere che $\text{sup}_{t\in[0,T]}|X_t^{(n)}-X_t|$ tende a $0$ q.c. per $n\to+\infty$.
Grazie a tutti!
Sia $X=\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ un processo adattato e q.c. continuo.
Sia $\pi^{(n)=\{0=t_0^{(n)}<\ldots t_{k_n}^{(n)}=T\}$ una partizione dell'intervallo $[0,T]$ di passo tendente a $0$.
Si definisce $X_u^{(n)}=\sum_{i=0}^{k_n-1}X_{t_i^{(n)}}\mathbb{1}_{[t_i^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}]}(u)$.
Il passaggio che non capisco è che siccome $\t\toX_t$ è uniformemente continua posso concludere che $\text{sup}_{t\in[0,T]}|X_t^{(n)}-X_t|$ tende a $0$ q.c. per $n\to+\infty$.
Grazie a tutti!
Risposte
"stelladinatale":
Nella dimostrazione di un teorema c'è un passaggio che non riesco a capire.
Sia $X=\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ un processo adattato e q.c. continuo.
Sia $\pi^{(n)=\{0=t_0^{(n)}<\ldots t_{k_n}^{(n)}=T\}$ una partizione dell'intervallo $[0,T]$ di passo tendente a $0$.
Si definisce $X_u^{(n)}=\sum_{i=0}^{k_n-1}X_{t_i^{(n)}}\mathbb{1}_{[t_i^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}]}(u)$.
Il passaggio che non capisco è che siccome $\t\toX_t$ è uniformemente continua posso concludere che $\text{sup}_{t\in[0,T]}|X_t^{(n)}-X_t|$ tende a $0$ q.c. per $n\to+\infty$.
Grazie a tutti!
Considera una funzione $f(t)$ continua su $[0,T]$ (e dunque uniformemente continua). A questo punto la tua approssimazione $f_n(t)$ diventa
$f_n(t)=\sum_{i=0}^{k_n-1}f(t_i^{(n)})\mathbb{1}_{[t_i^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}]}(u)$
a questo punto devi verificare che $f_n\to f$ in norma del sup., concordi (se non ti convince fai un bel disegno delle due funzioni per capire il giro del fumo
)?Poi nel tuo caso hai che $X_t$ è q.c. continuo e quindi applichi questo calcolo a $f(t)=X_t$ e la conv. a zero è q.c. in quanto è q.c. la continuità.
"fu^2":
a questo punto devi verificare che $f_n\to f$ in norma del sup.
Io devo dimostrare che $\text{sup}_{t\in[0,T]}|\sum_{i=0}^{k_n-1}(f(t_i^{(n)})\mathbb{1}_{[t_i^{(n)}, t_{i+1}^{(n)}]}(t))-f(t)|\to 0$ per $n\to\infty$ sfruttando l'uniforme continuità della funzione $f$.
Ho povato a maggiorare la funzione caratteristica con $1$ e a portare la $f(t)$ dentro la sommatoria però non riesco a ricondurmi a qualcosa che mi permetta di sfruttare l'uniforme continuità della $f$.
OSSERVAZIONE:per ogni $n$ fissato hai che $|f(t)-f_n(t)|=|f(t)-f(t_i^n)|$, per qualche $i=1,...,n$.
DEF U.C.: per ogni $\epsilon>0$ fissato esiste un $\delta$ per cui, se $|t-s|<\delta$ allora $|f(t)-f(s)|<\epsilon$, con $\delta=\delta(\epsilon)$ e non dai punti $s,t\in [0,T]$, ovvero la definizione di uniforme continuità.
A questo punto fissa $\epsilon>0$ e sia $\delta$ come nella definizione.
Dal momento che $\pi^n\to 0$ (il passo della tua partizione), hai che esiste $N$ grande tale per cui per ogni $n>N$, $|t_{i+1}^n-t_i^n|<\delta$ per ogni $i=1,...,n$, in particolare, per un $n>N$ fissato hai che $|f(t)-f(t_i^n)|<\epsilon$ per quanto detto nella prima riga. A questo punto hai quasi concluso, ma non ti rovino il piacere di finire l'ultimo passaggio (devi notare che la maggiorazione con l'epsiolon non dipende dal punto $t$ scelto, ma questo è già scritto in queste righe).
DEF U.C.: per ogni $\epsilon>0$ fissato esiste un $\delta$ per cui, se $|t-s|<\delta$ allora $|f(t)-f(s)|<\epsilon$, con $\delta=\delta(\epsilon)$ e non dai punti $s,t\in [0,T]$, ovvero la definizione di uniforme continuità.
A questo punto fissa $\epsilon>0$ e sia $\delta$ come nella definizione.
Dal momento che $\pi^n\to 0$ (il passo della tua partizione), hai che esiste $N$ grande tale per cui per ogni $n>N$, $|t_{i+1}^n-t_i^n|<\delta$ per ogni $i=1,...,n$, in particolare, per un $n>N$ fissato hai che $|f(t)-f(t_i^n)|<\epsilon$ per quanto detto nella prima riga. A questo punto hai quasi concluso, ma non ti rovino il piacere di finire l'ultimo passaggio (devi notare che la maggiorazione con l'epsiolon non dipende dal punto $t$ scelto, ma questo è già scritto in queste righe).
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