Partizione generata da eventi

[irelimax]

Buongiorno a tutti!
Ho il seguente esercizio:
Individuare la partizione generata dagli eventi $E_i$ (i=1,2,3,4) sapendo che $E_1$, $E_2$ sono incompatibili, $E_3\rightarrow E_1$ e $E_3\rightarrow \overline{E}_4$. Considerata poi su tale partizione la distribuzione uniforme, calcolare $P(E_3\cup (E_1\cap \overline{E}_4))$

Considerando tutti i costituenti della partizione ed eliminando quelli con probabilità nulla, ho ottenuto la seguente partizione:
$$\begin{array}{l}
\overline{E}_1E_2\overline{E}_3E_4=E_2E_4\\
E_1\overline{E}_2\overline{E}_3E_4=E_1E_4\\
E_1\overline{E}_2E_3\overline{E}_4=E_3\\
\overline{E}_1\overline{E}_2\overline{E}_3E_4=\overline{E}_1\overline{E}_2E_4\\
\overline{E}_1E_2\overline{E}_3\overline{E}_4=E_2\overline{E}_3\overline{E}_4\\
E_1\overline{E}_2\overline{E}_3\overline{E}_4=E_1\overline{E}_3\overline{E}_4\\
\overline{E}_1\overline{E}_2\overline{E}_3\overline{E}_4=\overline{E}_1\overline{E}_2\overline{E}_4\end{array}$$

Dato che tale partizione ha distribuzione uniforme, ciascuno degli eventi di sopra ha probabilità 1/7.
La probabilità richiesta la posso riscrivere nel seguente modo:
$P(E_3\cup (E_1\cap \overline{E}_4))=P(E_3)+P(E_1\cap \overline{E}_4)-P(E_1\cap E_3\cap \overline{E}_4)$

ma non arrivo a calcolare le due ultime probabilità. Chi mi da una mano?

[Lo_zio_Tom]

"irelimax":Individuare la partizione generata dagli eventi $E_i$ (i=1,2,3,4) sapendo che $E_1$, $E_2$ sono incompatibili, $E_3\rightarrow E_1$ e $E_3\rightarrow \overline{E}_4$. Considerata poi su tale partizione la distribuzione uniforme, calcolare $P(E_3\cup (E_1\cap \overline{E}_4))$

boh....mi pare così drammaticamente semplice che spero di non aver sbagliato qualche cosa.

Considerando le condizioni poste dall'esercizio ($A rarr B$ significa ovviamente $A sub B$) rappresento tutto con il seguente diagramma




da cui è evidente che la partizione di $Omega$ è la seguente

${E_1 nn bar(E)_3 ; E_2 ; E_3 ; E_4}$

con $P[E_1 nn bar(E)_3]=P[ E_2]=P[E_3]=P[ E_4]=1/4$

e la probabilità richiesta è

$P[E_3 uu (E_1 nn bar(E)_4)]=P(E_1)=1/2$

Osservazioni, commenti, correzioni?

[irelimax]

Non capisco da cosa deduci che $E_4$ non interseca nè $E_1$ e nè $E_2$

[Lo_zio_Tom]

ops....hai ragione

Effettivamente mi sono arrogato il diritto di imporre una condizione aggiuntiva (grazie per la giusta osservazione)

Se disegni un insieme $E_4$ non disgiunto da $E_1$ e $E_2$ allora sì ne vengono 7 di eventi ma il procedimento risolutivo non cambia...in tal caso la probabilità richiesta verrebbe $2/7$ invece che $2/4$

Come si vede agevolmente dal seguente diagramma



la probabilità richiesta è infatti $P[E_1 nn bar(E)_4]=1/7+1/7$

$E_3$ infatti non ci interessa essendo sottoinsieme di $E_1$ e di sicuro non si interseca con $E_4$, essendo per ipotesi anche sottoinsieme di $bar(E)_4$

ora dovrebbe essere tutto a posto. Fammi sapere se è chiaro e scusa per l'errato instradamento precedente

[irelimax]

Si perfetto, ora mi torna tutto. Grazie