Palline
Chi sa rispondere a questo semplice quesito?
ho 16 palline nere e 4 bianche, se faccio una pescata dentro l'urna, calcolando che pesco a 3 a 3, e dunque che nella mia singola pescata estraggo 3 palline contemporaneamente, che probabilità ho di pescare almeno 1 pallina bianca???
ho 16 palline nere e 4 bianche, se faccio una pescata dentro l'urna, calcolando che pesco a 3 a 3, e dunque che nella mia singola pescata estraggo 3 palline contemporaneamente, che probabilità ho di pescare almeno 1 pallina bianca???
Risposte
$1-P[\text{nessuna pallina bianca}]$ 
Non vorrei sbagliare, ma credo che il ragionamento da fare sia il seguente: le 3 estrazioni sono senza reinserimento, ossia la pallina estratta in ciascuna delle tre estrazioni non viene rimessa nell'urna. Questo fa sì che ad ogni estrazione il numero di palline nell'urna diminuisce. La probabilità che almeno una sia bianca è, come è stato detto 1- p(tutt'e 3 nere). Calcoliamo quindi la probabilità di estrarre tutt'e 3 le volte palline nere. Alla prima estrazione ho 20 palline totali, di cui 16 nere, quindi la probabilità che la prima pallina estratta sia nera è 16/20. Dopo la pria estrazione, sono rimaste 19 palline. Supponendo che la prima estratta sia stata nera, rimangono 15 palline nere su 19 totali. Quindi la probabilità di ottenere nero alla seconda estrazione, posto che sia stata nera la prima è 15/19. Ragionando allo stesso modo, la probabilità che la terza estratta sia nera, posto che siano uscite nere le prime due, è 14/18. In base a un teorema sulle probabilità, si ha che la probabilità che tutt'e tre le estrazioni vengano nere è semplicemente il prodotto delle probabilità calcolate in precedenza (mi riferisco al teorema che mi fa calcolare la probabilità di un'intersezione di eventi, legandola alle probabilità condizionate). In conclusione si ha che p(tutt'e 3 nere)=(16/20)*(15/19)*(14/18)=0,491. Quindi p(almeno una bianca)= 1-p(tutt'e 3 nere)=0,509 circa.
Su internet ieri ho trovato una formula...
1-(1-p)elevatala al cubo
che da come risultato 0,58
sapete darmi risposte in merito???
1-(1-p)elevatala al cubo
che da come risultato 0,58
sapete darmi risposte in merito???
Il ragionamento corretto è quello di clrscr e di andregi (che però la prossima volta si metterà a scrivere in MathML vero? 
).
Nella tua formula innanzitutto devi esplicitare chi è $p$... nel caso, come penso, sia la probabilità di estrarre una pallina bianca, devi tenere conto che (considerando l'estrazione di tre palline come tre estrazioni successive di una pallina) da un'estrazione all'altra la probabilità cambia perchè le palline estratte non si rimettono nell'urna.
).Nella tua formula innanzitutto devi esplicitare chi è $p$... nel caso, come penso, sia la probabilità di estrarre una pallina bianca, devi tenere conto che (considerando l'estrazione di tre palline come tre estrazioni successive di una pallina) da un'estrazione all'altra la probabilità cambia perchè le palline estratte non si rimettono nell'urna.
Gatto89 scusami, ma come fanno ad essere entrambe giuste le due soluzioni quotate, se datto risultati differenti?
se provo a calcolare 1-p (a me non so se sbaglio), viene fuori come risultato 0.75
dove appunto P sta per casi favorevoli diviso casi possibili. nel nostro caso 4/16 cioè 1/4.
un'altra informazione...
se è esatta la formula 1-p in questo caso dove in una sola estrazione pesco contemporaneamente 3 palline e mi chiado qual'è la probabilità che 1 sia almeno bianca, mi potete scrivere la formula se invece di 3 ne pesco 4 contemporaneamente...o 5....o 6
cioè la mia domanda è: cosa cambia nella formula...come si evolve?
grazie.
(supponendo sempre che sia esatta questa formula eh!)
se provo a calcolare 1-p (a me non so se sbaglio), viene fuori come risultato 0.75
dove appunto P sta per casi favorevoli diviso casi possibili. nel nostro caso 4/16 cioè 1/4.
un'altra informazione...
se è esatta la formula 1-p in questo caso dove in una sola estrazione pesco contemporaneamente 3 palline e mi chiado qual'è la probabilità che 1 sia almeno bianca, mi potete scrivere la formula se invece di 3 ne pesco 4 contemporaneamente...o 5....o 6
cioè la mia domanda è: cosa cambia nella formula...come si evolve?
grazie.
(supponendo sempre che sia esatta questa formula eh!)
Allora, puoi vedere la questione in due modi:
1) La formula già citata, $P(\text{almeno una bianca}) = 1 - P(\text{nessuna bianca}) = 1 - P(\text{tutte nere})$.
Ora vedi la singola estrazione di 3 palline come 3 estrazioni di una pallina senza rinscatolamento (la cosa è equivalente).
Quindi $P(\text{tutte nere}) = P(\text{prima nera} )P(\text{seconda nera | prima nera})P(\text{terza nera | prima e seconda nere})$ e ti ritrovi la formula di andregi. La cosa importante è che le tre probabilità non sono uguali, quindi non puoi vedere la formula come $(1-p)^3$.
2) Sempre partendo da $P(\text{almeno una bianca}) = 1 - P(\text{nessuna bianca}) = 1 - P(\text{tutte nere})$,con i binomiali hai $1 - ((16),(3))/((20),(3))$.
1) La formula già citata, $P(\text{almeno una bianca}) = 1 - P(\text{nessuna bianca}) = 1 - P(\text{tutte nere})$.
Ora vedi la singola estrazione di 3 palline come 3 estrazioni di una pallina senza rinscatolamento (la cosa è equivalente).
Quindi $P(\text{tutte nere}) = P(\text{prima nera} )P(\text{seconda nera | prima nera})P(\text{terza nera | prima e seconda nere})$ e ti ritrovi la formula di andregi. La cosa importante è che le tre probabilità non sono uguali, quindi non puoi vedere la formula come $(1-p)^3$.
2) Sempre partendo da $P(\text{almeno una bianca}) = 1 - P(\text{nessuna bianca}) = 1 - P(\text{tutte nere})$,con i binomiali hai $1 - ((16),(3))/((20),(3))$.
Ok grazie ho capito, dunque in poche parole la formula esatta è 1-p cioè i casi favorevoli su casi possibili meno 1 solo caso, cioè tutte e tre le palline nere...giusto?
ma vi chiedevo, se piuttosto che estrarre 3 palline contemporaneamente ne estraessi 4 sarebbe sempre la stessa formula, verrebbe fuori sempre lo stesso risultato?
ma vi chiedevo, se piuttosto che estrarre 3 palline contemporaneamente ne estraessi 4 sarebbe sempre la stessa formula, verrebbe fuori sempre lo stesso risultato?
insomma? come si può fare per avere sta formula? nessuno mi risponde?
certo che il calcolo delle probabilità mi sembra uno dei campi più difficili e più belli della matematica!
si fa presto a dire casi favorevoli su casi possibili.
detta così sembra che questa formula vada bene per tutto.
certo che il calcolo delle probabilità mi sembra uno dei campi più difficili e più belli della matematica!
si fa presto a dire casi favorevoli su casi possibili.
detta così sembra che questa formula vada bene per tutto.
"girobifastigio":
.... estrarre 3 palline contemporaneamente ne estraessi 4 sarebbe sempre la stessa formula, verrebbe fuori sempre lo stesso risultato?
forse nessuno ti risponde, perchè si pensa che tu abbia voglia di scherzare...
No, nessuno ha voglia di scherzare. Per rispondere al quesito, quando estrai 4 palline devi fare 1-(16x15x14x13)/(20x19x18x17), scusate se lo scrivo così ma non riesco a trovare il tool per scrivere le formule diversamente. In generale, se estrai n palline, devi fare 1- un rapporto. Questo rapporto è un rapporto fra 2 prodotti, come puoi vedere: nel primo rapporto parti da 16 e poi moltiplichi per 15, 14, diminuendo sempre di 1. Idem per il prodotto a denominatore, dove però parti da 20 (quindi fai 20x19x18,ecc..) Entrambi i prodotti (quello a numeratore e quello a denominatore) hanno n termini, ad esempio nel caso in cui estrai n=4 palline, hai un prodotto di 4 numeri a numeratore e un prodotto di 4 numeri a denominatore, come puoi vedere. Scusami se mi sto spiegando così, ma non so scrivere le formule in un altro formato e sto cercando di spiegarmi tenendo conto di questa mia incapacità. La formula può essere vista in un altro modo, cioè possiamo dire la probabilità richiesta, nel caso di n estrazioni, è pari a 1- (16 n)/(20 n), dove (20 n) e (16 n) sono coefficienti binomiali (spero tu sappia cosa sono) e andrebbero scritti in verticale, ma io non so come si fa. Cioè, in pratica voglio dire che il rapporto fra coefficienti binomiali
(16 n)/(20 n) è esattamente uguale al rapporto (16x15x14x13)/(20x19x18x17): facendo i conti e semplificando si vede subito.
(16 n)/(20 n) è esattamente uguale al rapporto (16x15x14x13)/(20x19x18x17): facendo i conti e semplificando si vede subito.
grazie andregi sei stato gentilissimo!
ps, scusate anche le mie domande idiote dovute alle mie scarse basi matematiche!
ps, scusate anche le mie domande idiote dovute alle mie scarse basi matematiche!
"andregi":
....scusate se lo scrivo così ma non riesco a trovare il tool per scrivere le formule diversamente.
vedi sezione "Il nostro forum" --> Come scrivere le formule
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