Numero di configurazioni divervse: posti
Credo di non avere le idee chiare per capire questo esercizio:
ci sono 5 file da 10 posti ciascuno; ogni posto può essere occupato da uno studente, una studentessa o essere vuoto. Bisogna trovare il numero di configurazioni possibili affinché non ci siano 3 file vuote consecutive, quindi in ogni fila deve esserci almento un posto occupato(tranne nel caso in cui le file vuote siano la prima la terza e la quinta che quindi sarebbe da accettare). Ho pensato che prima bisognerebbe limitarci ad una fila singola; magari usando dei numeri o caratteri per identificare i posti(in questo caso l'ordine non dovrebbe contare, serve sapere se i posti sono occupati o no). Dopo si dovrà togliere dal numero di modi in cui è possibile ordinare le file quelle in cui appaiono 3 file vuote.
ci sono 5 file da 10 posti ciascuno; ogni posto può essere occupato da uno studente, una studentessa o essere vuoto. Bisogna trovare il numero di configurazioni possibili affinché non ci siano 3 file vuote consecutive, quindi in ogni fila deve esserci almento un posto occupato(tranne nel caso in cui le file vuote siano la prima la terza e la quinta che quindi sarebbe da accettare). Ho pensato che prima bisognerebbe limitarci ad una fila singola; magari usando dei numeri o caratteri per identificare i posti(in questo caso l'ordine non dovrebbe contare, serve sapere se i posti sono occupati o no). Dopo si dovrà togliere dal numero di modi in cui è possibile ordinare le file quelle in cui appaiono 3 file vuote.
Risposte
"Nandone169":
Credo di non avere le idee chiare per capire questo esercizio:
ci sono 5 file da 10 posti ciascuno; ogni posto può essere occupato da uno studente, una studentessa o essere vuoto.
"ogni posto" vuol dire che i primi posti possono essere vuoti, con persone dietro?
Certo, tutte le combinazioni possibili includerebbero anche lasciare posti d'avanti vuoti
"Nandone169":
[...]non ci siano 3 file vuote consecutive, quindi in ogni fila deve esserci almento un posto occupato(tranne nel caso in cui le file vuote siano la prima la terza e la quinta che quindi sarebbe da accettare)
Puoi anche lasciare vuote 1,2,4,5 o 1,4,5 o...
Anzi le combinazioni di file vuote _vietate_ sono 12345, 1234, 2345, 1235, 123, 234, 1345, 345 mi pare.
Quindi direi di contare tutte le combinazioni e poi togliere quelle con quelle file vuote.
Si giusto, per l'ordine delle file basterebbe fare la permutazione e quindi vedere il numero di configurazioni accettabili. Invece per stabilire come assegnare i posti: ogni fila e composta da 10 posti che possono essere o tutti vuoti o tutti pieni oppure solo alcuni pieni o viceversa. Siccome l'ordine non conta e inoltre e possibile avere più posti occupati dallo stesso tipo di elementi(considerando anche l'essere vuoto) si dovranno utilizzare le combinazioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10 e bisognerebbe farlo per il numero di file, cioè 5. Ha senso come logica oppure no? Ho pensato al classico esempio della scatola con le palline colorate usato per le combinazioni di questo tipo 
"Nandone169":
Invece per stabilire come assegnare i posti: ogni fila e composta da 10 posti che possono essere o tutti vuoti o tutti pieni oppure solo alcuni pieni o viceversa. Siccome l'ordine non conta
Perché non conta? Per una fila non è semplicemente $3^{10}$? Forse non ho capito la domanda.
Questo lo sto dicendo io: perché dovrebbe effettivamente contare l'ordine tra i posti? Alla fine la cosa importante e se sono riempiti o no; l'ordine è importante tra le file e non tra i posti di una fila
"Nandone169":
Questo lo sto dicendo io: perché dovrebbe effettivamente contare l'ordine tra i posti? Alla fine la cosa importante e se sono riempiti o no; l'ordine è importante tra le file e non tra i posti di una fila
Temo di essermi perso del tutto.
Perché il numero di configurazioni è \(3^10 \)?
Per ogni fila non vuota (cioè non completamente vuota) si hanno $c=3^10-1$ combinazioni diverse.
C'è un solo modo di avere $5$ file non vuote e quindi in tal caso avremo $c^5$ combinazioni.
Ci sono $5$ modi di avere $4$ file non vuote e quindi $5*c^4$
Ci sono $10$ modi di avere $3$ file non vuote e quindi $10*c^3$
Ci sono $7$ modi di avere $2$ file non vuote e $3$ vuote ma non consecutive e quindi $7*c^2$
C'è un solo modo di avere una fila non vuota e $4$ vuote ma non tre consecutive e quindi $c$ combinazioni.
Sommare il tutto.
IMHO
Cordialmente, Alex
C'è un solo modo di avere $5$ file non vuote e quindi in tal caso avremo $c^5$ combinazioni.
Ci sono $5$ modi di avere $4$ file non vuote e quindi $5*c^4$
Ci sono $10$ modi di avere $3$ file non vuote e quindi $10*c^3$
Ci sono $7$ modi di avere $2$ file non vuote e $3$ vuote ma non consecutive e quindi $7*c^2$
C'è un solo modo di avere una fila non vuota e $4$ vuote ma non tre consecutive e quindi $c$ combinazioni.
Sommare il tutto.
IMHO
Cordialmente, Alex
Scusatemi ma così non mi è chiaro; inoltre l'uso del termine "combinazioni" usato in modo generale confonde ancora di più 
. Vorrei sapere il ragionamento dietro a quei calcoli.
. Vorrei sapere il ragionamento dietro a quei calcoli.
Ogni posto può essere in tre stati: uomo/donna/vuota.
Dato che lo stato di ogni posto non dipende da quello di un altro posto, allora ogni fila di $10$ posti può trovarsi in $3^10$ situazioni/stati/modi/condizioni (o anche combinazioni) diverse.
Ogni fila NON vuota (cioè non completamente vuota) può trovarsi in $c=3^10-1$ perché va scartata da tutte le possibili situazioni quella completamente vuota.
C'è un solo modo di avere cinque file non vuote perciò in questo caso, dato che la situazione di ogni fila non dipende da quella delle altre, avremo $c^5$ situazioni diverse.
Ci sono cinque modi di avere quattro file non vuote e una completamente vuota; infatti quest'ultima può essere la prima o la seconda o ...
Quindi in tal caso avremo $5*c^4$ situazioni diverse.
E così via per gli altri casi ...
Siccome ognuno dei casi esclude gli altri, sommiamo tutte le situazioni per avere il totale complessivo.
Cordialmente, Alex
Dato che lo stato di ogni posto non dipende da quello di un altro posto, allora ogni fila di $10$ posti può trovarsi in $3^10$ situazioni/stati/modi/condizioni (o anche combinazioni) diverse.
Ogni fila NON vuota (cioè non completamente vuota) può trovarsi in $c=3^10-1$ perché va scartata da tutte le possibili situazioni quella completamente vuota.
C'è un solo modo di avere cinque file non vuote perciò in questo caso, dato che la situazione di ogni fila non dipende da quella delle altre, avremo $c^5$ situazioni diverse.
Ci sono cinque modi di avere quattro file non vuote e una completamente vuota; infatti quest'ultima può essere la prima o la seconda o ...
Quindi in tal caso avremo $5*c^4$ situazioni diverse.
E così via per gli altri casi ...
Siccome ognuno dei casi esclude gli altri, sommiamo tutte le situazioni per avere il totale complessivo.
Cordialmente, Alex
Grazie Alex, molto chiaro adesso.
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