Misura di Levy
Ciao a tutti.
Sto preparando un esame di economia matematica. Praticamente un corso sui processi di Levy.
Mi sono però bloccato su una dimostrazione che dovrebbe essere abbastanza semplice ma proprio non ne vengo fuori.
Diciamo che $ nu $ è una misura di Levy se vale:
$ int_( RR \\ {0} ) (x^2 ^^ 1) dnu < oo $ dove $ x^2 ^^ 1 $ è il minimo tra $ x^2 $ e 1.
Mostrare che $ nu $ è una misura $ sigma $-finita su $ RR \\ {0}$.
Devo quindi trovare una partizione di $ RR \\ {0}$ t.c. la misura di ogni insieme è finita.
Intuitivamente dividerei lo spazio in $D$ e $D^c$ dove $D$ è il disco di raggio 1 centrato in zero privato dello zero.
A questo punto la misura di $D^c$ è finita per la definizione di misura di Levy.
Non riesco però a fare vedere che la misura di $D$ è finita.
Attendo illuminazioni..
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Sto preparando un esame di economia matematica. Praticamente un corso sui processi di Levy.
Mi sono però bloccato su una dimostrazione che dovrebbe essere abbastanza semplice ma proprio non ne vengo fuori.
Diciamo che $ nu $ è una misura di Levy se vale:
$ int_( RR \\ {0} ) (x^2 ^^ 1) dnu < oo $ dove $ x^2 ^^ 1 $ è il minimo tra $ x^2 $ e 1.
Mostrare che $ nu $ è una misura $ sigma $-finita su $ RR \\ {0}$.
Devo quindi trovare una partizione di $ RR \\ {0}$ t.c. la misura di ogni insieme è finita.
Intuitivamente dividerei lo spazio in $D$ e $D^c$ dove $D$ è il disco di raggio 1 centrato in zero privato dello zero.
A questo punto la misura di $D^c$ è finita per la definizione di misura di Levy.
Non riesco però a fare vedere che la misura di $D$ è finita.
Attendo illuminazioni..
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Risposte
Rettifico.
Ho dimostrato che $nu$ è $sigma$-finita mostrando che è finita sul complementare della bolla di raggio $epsilon$ centrata in zero privata dello zero $AA epsilon>0$.
Ora però devo far vedere che questo implica:
$ int_(RR\\{0}) (e^{izx}-1-izxchi_{D})nu(dx)<+oo $ dove $D$ è sempre la bolla di raggio uno centrata in zero privata dello zero.
Credevo che dimostrando che $nu$ era $sigma$-finita l'avrei dimostrato facilmente ma in realtà adesso non so nemmeno da che parte partire..
Ho dimostrato che $nu$ è $sigma$-finita mostrando che è finita sul complementare della bolla di raggio $epsilon$ centrata in zero privata dello zero $AA epsilon>0$.
Ora però devo far vedere che questo implica:
$ int_(RR\\{0}) (e^{izx}-1-izxchi_{D})nu(dx)<+oo $ dove $D$ è sempre la bolla di raggio uno centrata in zero privata dello zero.
Credevo che dimostrando che $nu$ era $sigma$-finita l'avrei dimostrato facilmente ma in realtà adesso non so nemmeno da che parte partire..
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