Media e varianza di una v.a. di bernulli

[otiea]

ciao a tutti, questo è il mio primo messaggio in questo forum e spero di non aver commesso nessun errore, ma posto perchè non ho trovato niente di simile
mi chiedevo se qualcuno potesse aiutarmi con la risoluzione del seguente esercizio.

calcolare media e varianza di Y=X^2 con x v.a. di bernulli che vale p per x=3, q per x=1.

sinceramente non saprei come procedere, quindi ho calcolato la funzione generatrice dei momenti della bernulliana e poi ho preso la derivata 2 e quarta per arrivare a calcolare la varianza ( ho preso la derivata seconda come media ).
qualcuno può dirmi se il ragionamento è corretto o dove ho sbagliato?
grazie in anticipo a tutti

[Lo_zio_Tom]

$E[g(X)]=sum_(j)g(x_(j))f_(X)(x_(j))$

e analogamente la varianza, essendo

$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$

[otiea]

Quindi dite che ho sbagliato?? Il fatto é che non avrei saputo come risolvere la sommatoria se avessi fatto il cambio di variabili

[otiea]

con il mio metodo non si arriva a un risultato analogo a quello della distribuzione?

[Lo_zio_Tom]

e comunque il metodo più semplice rimane questo:

"tommik":ma anche senza passare per la distribuzione....

$E[g(X)]=sum_(j)g(x_(j))f_(X)(x_(j))$

e analogamente la varianza, essendo

$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$

[otiea]

"tommik":e comunque il metodo più semplice rimane questo:


[quote="tommik"]ma anche senza passare per la distribuzione....

$E[g(X)]=sum_(j)g(x_(j))f_(X)(x_(j))$

e analogamente la varianza, essendo

$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$

[/quote]


hai ragione, ma credevo che la sommatoria fosse fino a infinito e quindi non sapevo come uscirne, invece guardando bene sul libro è fino a 2.
Però all'esame ormai ho fatto così e visto che ho la correzione la settimana prossima vorrei capire se il procedimento, anche se inutile è sbagliato o meno.
In pratica io ho usato la proprietà della generatrice dei momenti che dice che
$ E{x^n}= d^n (psi)/(dt^n) | t=0 $
e siccome la mia Y era x^2 ho pensato che per la varianza mi serviva la derivata quarta. sinceramente non l'avevo visto fare in nessun esercizio prima e per questo volevo capire se fosse corretto o meno
comunque grazie mille per il tuo aiuto

[otiea]

ho verificato i calcoli usando la sommatoria come hai detto tu e i risultati coincidono, quindi credo che nonostante la perdita di tempo, il risultato sia corretto.
mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi
e grazie ancora