Media e varianza di dado equilibrado e distr uniforme
Buongiorno a tutti 
Vorrei avere una mano nella risoluzione di questi test a crocette, purtroppo il mio professore di probabilità era un cane e ora mi trovo in seria difficoltà 
Si lancia un dado equilibrato numerato da 1 a 6 per sei volte. Si considerino le variabili Xk che valgono 1 se esce i al lancio i-esimo e 0 altrimenti. Dire quale delle seguenti affermazioni è falsa:
1)$E[ Sigma X_k]=1$
2)$E[X_k-X_j]=0$; $AAk,j$
3)$Var[ Sigma X_k]= 5/6 $
4)$P[ Sigma X_k=5]= 5/6*(1/6)^5 $
(La risposta corretta è la 4)
il secondo quiz è simile :
X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione uniforme su [-1,1]. Dire quale delle seguenti affermazioni è falsa:
1) $COV[X,Y]=0$
2) $P[X+Y >0|XY >0]= 1/2 $
3) $P[XY >0]= 2[P(X>0)]^2 $
4) $E[(X−1)Y]<0$
(anche in questo caso la risposta da dare è la 4)
Il mio problema è che purtroppo ho proprio difficoltà a maneggiare il valore atteso e la varianza e per quanto io abbia provato a studiare dal Ross, comunque ho grosse difficoltà in questi quesiti a crocette tanto che non riesco a capire come fare per vedere che ad esempio le prime 3 risposte sono vere... vi sarei infinitamente grata se mi mostraste i passaggi che si devono fare così almeno imparo a risolvere una volta per tutte questo tipo di quiz
Vi ringrazio in anticipo e perdonatemi se il testo risulta poco comprensibile 
Vorrei avere una mano nella risoluzione di questi test a crocette, purtroppo il mio professore di probabilità era un cane e ora mi trovo in seria difficoltà Si lancia un dado equilibrato numerato da 1 a 6 per sei volte. Si considerino le variabili Xk che valgono 1 se esce i al lancio i-esimo e 0 altrimenti. Dire quale delle seguenti affermazioni è falsa:
1)$E[ Sigma X_k]=1$
2)$E[X_k-X_j]=0$; $AAk,j$
3)$Var[ Sigma X_k]= 5/6 $
4)$P[ Sigma X_k=5]= 5/6*(1/6)^5 $
(La risposta corretta è la 4)
il secondo quiz è simile :
X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione uniforme su [-1,1]. Dire quale delle seguenti affermazioni è falsa:
1) $COV[X,Y]=0$
2) $P[X+Y >0|XY >0]= 1/2 $
3) $P[XY >0]= 2[P(X>0)]^2 $
4) $E[(X−1)Y]<0$
(anche in questo caso la risposta da dare è la 4)
Il mio problema è che purtroppo ho proprio difficoltà a maneggiare il valore atteso e la varianza e per quanto io abbia provato a studiare dal Ross, comunque ho grosse difficoltà in questi quesiti a crocette tanto che non riesco a capire come fare per vedere che ad esempio le prime 3 risposte sono vere... vi sarei infinitamente grata se mi mostraste i passaggi che si devono fare così almeno imparo a risolvere una volta per tutte questo tipo di quiz
Vi ringrazio in anticipo e perdonatemi se il testo risulta poco comprensibile
Risposte
****************************
cominciamo dal primo:
*****************************
le variabili in questione sono le seguenti:
$X_i-={{: ( 1 , 0 ),( 1/6 , 5/6 ) :}$
tutte i.i.d. di media $E[X_i]=1/6$ e varianza $V[X_i]=5/36$
il primo punto dice che:
$E[sum_i X_i]=1$
controlliamo, sfruttando le proprietà di linearità del valore atteso
$E[sum_i X_i]=sum_i E[X_i]=6*1/6=1$ VERA
2) $E[X_k - X_j]=E[X_k]-E[X_j]=0$ quindi VERA
3) Per l'indipendenza, la varianza della somma è la somma delle varianze -> VERA
Che la 4) sia falsa è evidente e senza fare alcun conto perché la probabilità richiesta è una binomiale e quindi ci manca il coefficiente $((6),(5))$
****************************
Ora il secondo:
****************************
Per risolverlo conviene disegnare il grafico delle due densità indipendenti (sono costanti)
1) il primo punto è vero per la definizione di indipendenza, dato che indipendenza $rarr$ incorrelazione (ma non viceversa, a meno che il modello non sia Gaussiano)
2) $P(X+Y>0|XY>0)$
qui occorre utilizzare la definizione di probabilità condizionata e fare alcuni ragionamenti:
$P(X+Y>0|XY>0)=(P(X+Y>0 nn XY>0))/(P(XY>0)$
iniziamo a calcolare la probabilità che subordina
$P(XY>0)=1/2*1/2+1/2*1/2=1/2$
Infatti $XY>0$ significa che le due variabili o sono entrambe positive oppure entrambe negative.
Veniamo ora alla probabilità dell'intersezione: se le variabili sono entrambe positive, la somma sarà positiva, se invece sono entrambe negative la somma non potrà mai essere positiva e quindi
$P(X+Y>0 nn XY>0)=1/2*1/2=1/4$
in definitiva, la probabilità cercata è
$P(X+Y>0|XY>0)=(1/4)/(1/2)=1/2$
quindi anche questa è vera.
3)
$2[P(X>0)]^2=2(1/2)^2=2*1/4=1/2=P(XY>0)$... calcolata prima, qundi vera.
4)
$E[(X-1)Y]=E[XY-Y]=E[XY]-E[Y]=E[X]E[Y]-E[Y]=0*0-0=0$...quindi falsa
[xdom="tommik"]Dunque @elizabeth_monroe, dato che questo era il tuo primo topic ti ho risolto completamente gli esercizi ma ti avviso: Non inserire altri esercizi senza bozza risolutiva perché te li chiudo, in quanto ciò è mandatorio in base al punto 1.2 del regolamento.[/xdom]
Inolre, per mantenere la stanza in ordine, preferisco che inseriate un topic per ogni esercizio
detto ciò ti saluto cordialmente...
cominciamo dal primo:
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le variabili in questione sono le seguenti:
$X_i-={{: ( 1 , 0 ),( 1/6 , 5/6 ) :}$
tutte i.i.d. di media $E[X_i]=1/6$ e varianza $V[X_i]=5/36$
il primo punto dice che:
$E[sum_i X_i]=1$
controlliamo, sfruttando le proprietà di linearità del valore atteso
$E[sum_i X_i]=sum_i E[X_i]=6*1/6=1$ VERA
2) $E[X_k - X_j]=E[X_k]-E[X_j]=0$ quindi VERA
3) Per l'indipendenza, la varianza della somma è la somma delle varianze -> VERA
Che la 4) sia falsa è evidente e senza fare alcun conto perché la probabilità richiesta è una binomiale e quindi ci manca il coefficiente $((6),(5))$
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Ora il secondo:
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Per risolverlo conviene disegnare il grafico delle due densità indipendenti (sono costanti)
1) il primo punto è vero per la definizione di indipendenza, dato che indipendenza $rarr$ incorrelazione (ma non viceversa, a meno che il modello non sia Gaussiano)
2) $P(X+Y>0|XY>0)$
qui occorre utilizzare la definizione di probabilità condizionata e fare alcuni ragionamenti:
$P(X+Y>0|XY>0)=(P(X+Y>0 nn XY>0))/(P(XY>0)$
iniziamo a calcolare la probabilità che subordina
$P(XY>0)=1/2*1/2+1/2*1/2=1/2$
Infatti $XY>0$ significa che le due variabili o sono entrambe positive oppure entrambe negative.
Veniamo ora alla probabilità dell'intersezione: se le variabili sono entrambe positive, la somma sarà positiva, se invece sono entrambe negative la somma non potrà mai essere positiva e quindi
$P(X+Y>0 nn XY>0)=1/2*1/2=1/4$
in definitiva, la probabilità cercata è
$P(X+Y>0|XY>0)=(1/4)/(1/2)=1/2$
quindi anche questa è vera.
3)
$2[P(X>0)]^2=2(1/2)^2=2*1/4=1/2=P(XY>0)$... calcolata prima, qundi vera.
4)
$E[(X-1)Y]=E[XY-Y]=E[XY]-E[Y]=E[X]E[Y]-E[Y]=0*0-0=0$...quindi falsa
[xdom="tommik"]Dunque @elizabeth_monroe, dato che questo era il tuo primo topic ti ho risolto completamente gli esercizi ma ti avviso: Non inserire altri esercizi senza bozza risolutiva perché te li chiudo, in quanto ciò è mandatorio in base al punto 1.2 del regolamento.[/xdom]
Inolre, per mantenere la stanza in ordine, preferisco che inseriate un topic per ogni esercizio
detto ciò ti saluto cordialmente...
la varianza ti viene 5/36 perché hai moltiplicato 1/6 e 5/6 essendo una binomiale, giusto?
comunque sei stato gentilissimo! davvero, grazie grazie perdonami se non ho scritto correttamente il post e grazie di avermi avvisata comunque un grosso errore che facevo era considerare quella del primo esercizio una distribuzione geometrica e non una binomiale... ti ringrazio ancora per la disponibilità !
comunque sei stato gentilissimo! davvero, grazie grazie
perdonami se non ho scritto correttamente il post e grazie di avermi avvisata comunque un grosso errore che facevo era considerare quella del primo esercizio una distribuzione geometrica e non una binomiale... ti ringrazio ancora per la disponibilità !
grazie mille davvero ho proprio un sacco di confusione su come "capire" di che tipo di distribuzione si tratta, proverò magari a farmi degli schemi o qualcosa de genere perché non ho le idee abbastanza chiare per non perdermi nel manuale! grazie ancora e buon pomeriggio
ho proprio un sacco di confusione su come "capire" di che tipo di distribuzione si tratta, proverò magari a farmi degli schemi o qualcosa de genere perché non ho le idee abbastanza chiare per non perdermi nel manuale! grazie ancora e buon pomeriggio
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