Media Armonica
Buongiorno a tutti,
ho note le formule per il calcolo della media aritmetica, geometrica, ed armonica.
So anche che per la media geometrica è opportuno che siano sempre positivi i numeri. Mi rimane il dubbio su quando è più opportuno usare una media aritmetica piuttosto che armonica in casi reali; chiedo gentilmente se esiste una qualche proprietà che devono avere i miei dati per decidere se usare quella armonica o quella aritmetica.
Grazie in anticipo
Saluti
Metrixo
ho note le formule per il calcolo della media aritmetica, geometrica, ed armonica.
So anche che per la media geometrica è opportuno che siano sempre positivi i numeri. Mi rimane il dubbio su quando è più opportuno usare una media aritmetica piuttosto che armonica in casi reali; chiedo gentilmente se esiste una qualche proprietà che devono avere i miei dati per decidere se usare quella armonica o quella aritmetica.
Grazie in anticipo
Saluti
Metrixo
Risposte
è necessario studiare le medie alla Chisini.
In pratica occorre individuare una funzione dei dati che deve rimanere inalterata sostituendo i dati stessi con la media. Risolvendo rispetto alla media si trova implicitamente la media da usare.
Facciamo un esempio:
percorriamo un km a 40 km/h e un altro km a 60 km/h. Qual è la velocità media?
L'esperienza ci dice già che dobbiamo usare una media armonica ma supponiamo di non saperlo....allora ragioniamo così:
Se sostituisco i dati da mediare (40 e 60 km/h) con un unico valore medio $bar(v)$ è evidente che, affinché tale valore abbia senso, è necessario che, alla velocità media $bar(v)$ io percorra i due km del percorso nel medesimo tempo che impiegherei alle due velocità da mediare.
Quindi la funzione da lasciare inalterata è il tempo impiegato, ovvero $t=S/v$
Possiamo allora impostare la seguente equazione
$1/40+1/60=2/bar(v)$
da cui
$bar(v)=2/(1/40+1/60)=48$ km/h
che è la media armonica fra le due velocità. Se provi a fare la media aritmetica $(40+60)/2=50$ ti accorgi che, per percorrere 2 km, non impieghi lo stesso tempo che impiegheresti facendo un km a 40 e un altro km a 60 all'ora. Quindi la media aritmetica non ha alcun senso in questa situazione.
spero sia chiaro
In pratica occorre individuare una funzione dei dati che deve rimanere inalterata sostituendo i dati stessi con la media. Risolvendo rispetto alla media si trova implicitamente la media da usare.
Facciamo un esempio:
percorriamo un km a 40 km/h e un altro km a 60 km/h. Qual è la velocità media?
L'esperienza ci dice già che dobbiamo usare una media armonica ma supponiamo di non saperlo....allora ragioniamo così:
Se sostituisco i dati da mediare (40 e 60 km/h) con un unico valore medio $bar(v)$ è evidente che, affinché tale valore abbia senso, è necessario che, alla velocità media $bar(v)$ io percorra i due km del percorso nel medesimo tempo che impiegherei alle due velocità da mediare.
Quindi la funzione da lasciare inalterata è il tempo impiegato, ovvero $t=S/v$
Possiamo allora impostare la seguente equazione
$1/40+1/60=2/bar(v)$
da cui
$bar(v)=2/(1/40+1/60)=48$ km/h
che è la media armonica fra le due velocità. Se provi a fare la media aritmetica $(40+60)/2=50$ ti accorgi che, per percorrere 2 km, non impieghi lo stesso tempo che impiegheresti facendo un km a 40 e un altro km a 60 all'ora. Quindi la media aritmetica non ha alcun senso in questa situazione.
spero sia chiaro
Grazie tommik, ma non vedo l'esempio.
(dammi il tempo di scriverlo)
i tassi di inflazione bimestrali dello scorso anno sono stati i seguenti:
2,0
2.2
1.8
2.1
1.9
2.0
media artimetica $=2.0$
ha senso?
ovviamente no. Infatti ciò che deve accadere è che io alla fine dell'anno abbia esattamente la stessa cifra capitalizzata, ovvero abbia un montante di
$1.02\cdot1.022\cdot1.018\cdot1.021\cdot1.019\cdot1.020=(1+bar(i))^6$
da cui $i=root(6)(1.02\cdot1.022\cdot1.018\cdot1.021\cdot1.019\cdot1.020)-1=1.9999%$
che è molto simile a 2 ma leggermente minore. Il risultato è una media geometrica ma non dei tassi, del fattore di capitalizzazione.
i tassi di inflazione bimestrali dello scorso anno sono stati i seguenti:
2,0
2.2
1.8
2.1
1.9
2.0
media artimetica $=2.0$
ha senso?
ovviamente no. Infatti ciò che deve accadere è che io alla fine dell'anno abbia esattamente la stessa cifra capitalizzata, ovvero abbia un montante di
$1.02\cdot1.022\cdot1.018\cdot1.021\cdot1.019\cdot1.020=(1+bar(i))^6$
da cui $i=root(6)(1.02\cdot1.022\cdot1.018\cdot1.021\cdot1.019\cdot1.020)-1=1.9999%$
che è molto simile a 2 ma leggermente minore. Il risultato è una media geometrica ma non dei tassi, del fattore di capitalizzazione.
Ok è molto chiaro grazie mille.
Però ho un dubbio: se ho un insieme dei dati che possono contenere numeri uguali a zero, e dunque avere una numerosità totale che comprende anche gli zeri, come faccio ad usare una media armonica (o geometrica) che necessitano di numeri positivi?
Mi spiego meglio: ipotizziamo che io abbia un vettore di numeri (3, 4, 5, 0, 0) e volessi calcolare la media aritmetica, potrei benissimo considerarli tutti, cioè (3+4+5+0+0)/5=2.4 che solo i positivi (3+4+5)/5=2.4 e non cambierebbe il mio risultato. Ma se utilizzo una media armonica, non potrei fare 5/(1/3+1/4+1/5+1/0+1/0) perché otterrei un errore da un calcolatore, e se usassi solo i 3 numeri positivi dovrei mettere 3 al numeratore piuttosto che 5. Se invece ha senso lasciare il numero 5 anche se il reciproco lo eseguo solo con i positivi, il problema non si pone.
Cosa dici?
Grazie ancora
Metrixo
Però ho un dubbio: se ho un insieme dei dati che possono contenere numeri uguali a zero, e dunque avere una numerosità totale che comprende anche gli zeri, come faccio ad usare una media armonica (o geometrica) che necessitano di numeri positivi?
Mi spiego meglio: ipotizziamo che io abbia un vettore di numeri (3, 4, 5, 0, 0) e volessi calcolare la media aritmetica, potrei benissimo considerarli tutti, cioè (3+4+5+0+0)/5=2.4 che solo i positivi (3+4+5)/5=2.4 e non cambierebbe il mio risultato. Ma se utilizzo una media armonica, non potrei fare 5/(1/3+1/4+1/5+1/0+1/0) perché otterrei un errore da un calcolatore, e se usassi solo i 3 numeri positivi dovrei mettere 3 al numeratore piuttosto che 5. Se invece ha senso lasciare il numero 5 anche se il reciproco lo eseguo solo con i positivi, il problema non si pone.
Cosa dici?
Grazie ancora
Metrixo
non esiste una regola fissa che ti dica: qui devi usare una media aritmetica qui invece una media xxx (oltretutto la media potrebbe anche essere una non codificata, ovvero una mistura delle medie che conosci). Occorre analizzare il problema nel modo che ti ho indicato. Probabilmente se ci sono degli zeri la media armonica non ha senso...ma non perché ci siano degli zeri....perché analizzando il problema e la funzione da lasciare inalterata non esce come risultato una media armonica.
Nell'esempio che hai riportato, la media aritmetica non cambia perché essa si usa quando la funzione da lasciare inalterata è la somma dei valori da mediare. Così come la media geometrica non la puoi usare se hai dati pari a zero perché la funzione da lasciare inalterata per generare una media geometrica è il prodotto dei dati.
E' solo questione di analizzare il problema. La media è il risultato dell'analisi, non il punto di partenza.
Esempio...poi la smetto, giuro
Abbiamo 3 soggetti: Pino, Gino e Rino. Tutti usano la stessa marca di lamette da barba. A Pino la lametta dura 2 giorni, a Gino 4 giorni e a Rino 3 giorni. Qual è la durata media delle lamette?
ovviamente non è $(2+4+3)/3=3$ in quanto, ad esempio, in un periodo complessivo di 12 giorni i tre soggetti consumano
$6+3+4=13$ lamette, mentre se la media fosse di 3 giorni/lametta in tre persone consumerebbero $4\cdot3=12$ lamette.
Come ti dicevo fin dall'inizio è necessario prima analizzare il problema, risolverlo e capire in quella situazione qual è la media che ha senso utilizzare. Fatto ciò, puoi "standardizzare" le singole situazioni associando ad ogni fattispecie la media corretta (che non è detto sia proprio una di quelle che conosci)
spero di averti chiarito un po' le idee.
Nell'esempio che hai riportato, la media aritmetica non cambia perché essa si usa quando la funzione da lasciare inalterata è la somma dei valori da mediare. Così come la media geometrica non la puoi usare se hai dati pari a zero perché la funzione da lasciare inalterata per generare una media geometrica è il prodotto dei dati.
E' solo questione di analizzare il problema. La media è il risultato dell'analisi, non il punto di partenza.
Esempio...poi la smetto, giuro
Abbiamo 3 soggetti: Pino, Gino e Rino. Tutti usano la stessa marca di lamette da barba. A Pino la lametta dura 2 giorni, a Gino 4 giorni e a Rino 3 giorni. Qual è la durata media delle lamette?
ovviamente non è $(2+4+3)/3=3$ in quanto, ad esempio, in un periodo complessivo di 12 giorni i tre soggetti consumano
$6+3+4=13$ lamette, mentre se la media fosse di 3 giorni/lametta in tre persone consumerebbero $4\cdot3=12$ lamette.
Come ti dicevo fin dall'inizio è necessario prima analizzare il problema, risolverlo e capire in quella situazione qual è la media che ha senso utilizzare. Fatto ciò, puoi "standardizzare" le singole situazioni associando ad ogni fattispecie la media corretta (che non è detto sia proprio una di quelle che conosci)
spero di averti chiarito un po' le idee.
sinceramente non ho molto chiaro il perché nell'ultimo esempio non devo applicare quella aritmetica; potresti spiegarmelo gentilmente?
Grazie
Grazie
ok ora è chiaro, è che ricevo gli esempi a pezzetti e solo ora ho letto la spiegazione.
Senza che apra un altro topic, puoi rinviarmi a un link dove trovo meglio descritte le cose che mi ha detto e magari che tratti anche di altri medie che non siano solo quelle che abbiamo nominato (arit, geo, arm). Sono molto interessato alla ricerca di un metodo che trovi un indice di posizione molto preciso e rappresentativo di un insieme di dati che può contenere zeri.
Grazie ancora
metrixo
Grazie ancora
metrixo
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