Media
Salve ho un dubbio alquanto sciocco, ma vorrei togliermi il dubbio
sulla mia terna di prob. ho la successione di variabili aleatorie i.i.d. $(Y_n)_(n>= 1)$ con legge esponenziale di parametro 1 e sia: $X_n = e^(Y_n -1)$ con $n>=1$ e sia poi $X_(n,R) = X_n *$ (fun. indicatrice)$ di (X_n <= R)$ con $R > 1/e$
ora per risolvere una richiesta che mi viene fatta successivamente mi serve calcolare la media della v.a. $X_(n,R)$ per fare ciò, mi serve calcolare la densità della v.a. $X_n$, ora ho che:
$F_(X_n) = P (e^(Y_n -1) <= x) = P(Y_n - 1 <= logx) = P(Y_n <= logx +1) = 1 - e^(-logx -1)$ e quindi derivando questa ho la densità, sbaglio qualcosa?
sulla mia terna di prob. ho la successione di variabili aleatorie i.i.d. $(Y_n)_(n>= 1)$ con legge esponenziale di parametro 1 e sia: $X_n = e^(Y_n -1)$ con $n>=1$ e sia poi $X_(n,R) = X_n *$ (fun. indicatrice)$ di (X_n <= R)$ con $R > 1/e$
ora per risolvere una richiesta che mi viene fatta successivamente mi serve calcolare la media della v.a. $X_(n,R)$ per fare ciò, mi serve calcolare la densità della v.a. $X_n$, ora ho che:
$F_(X_n) = P (e^(Y_n -1) <= x) = P(Y_n - 1 <= logx) = P(Y_n <= logx +1) = 1 - e^(-logx -1)$ e quindi derivando questa ho la densità, sbaglio qualcosa?
Risposte
Per calcolare la media di $X=g(Y)$ non serve la sua densità, basta usare la definizione di media
$E[g(Y)]=int_(-oo)^(+oo)g(y)f(y)dy$
(quando tale integrale esiste finito)
Puoi comunque calcolare la densità come hai fatto che è giusto. Ricorda solo che il dominio di X è il seguente: $x in(e^(-1),+oo)$
ciao
$E[g(Y)]=int_(-oo)^(+oo)g(y)f(y)dy$
(quando tale integrale esiste finito)
Puoi comunque calcolare la densità come hai fatto che è giusto. Ricorda solo che il dominio di X è il seguente: $x in(e^(-1),+oo)$
ciao
Non riesco sinceramente a farmi venire il conto dalle soluzioni dovrei ottenere che la media è $(logR +1)/e$, ma non capisco questo passaggio nel calcolo della media
$E[X_(1,R)]= int_(0)^(∞) e^(t-1)I_(0,R) e^(t-1)e^-tdx $
la funzione indicatrice è nell'intervallo chiuso [0,R]
Comunque per come mi dici tu, usando quindi la definizione, non avrei l'integrale di $e^(t-1)$ moltiplicato poi per la densità della $X_n$? (considerando poi che siccome $X_n <= R$ allora la $Y_n$ sarà $<= logR+1$
$E[X_(1,R)]= int_(0)^(∞) e^(t-1)I_(0,R) e^(t-1)e^-tdx $
la funzione indicatrice è nell'intervallo chiuso [0,R]
Comunque per come mi dici tu, usando quindi la definizione, non avrei l'integrale di $e^(t-1)$ moltiplicato poi per la densità della $X_n$? (considerando poi che siccome $X_n <= R$ allora la $Y_n$ sarà $<= logR+1$
"daenerys":
Non riesco sinceramente a farmi venire il conto; dalle soluzioni dovrei ottenere che la media è $(logR +1)/e$,
Proseguendo con la tua impostazione (che, come ti ho già detto, è corretta) trovi
$F_X=1-e^(-logx-1)=1-1/(xe)$
Ricordati che la media si definisce anche (quando tale integrale esiste finito, ovviamente) come
$E[X]=int_(0)^(+oo)[1-F(x)]dx$
...e così trovi subito
$E[X_(1;R)]=1/e int_(1/e)^R 1/x dx=(logR+1)/e$
c'est tout
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
L'integrale che hai scritto tu copiandolo dalle soluzioni
"daenerys":
... non capisco questo passaggio nel calcolo della media
$E[X_(1,R)]= int_(0)^(∞) e^(t-1)I_(0,R) e^(t-1)e^-tdx $
la funzione indicatrice è nell'intervallo chiuso [0,R]
è incomprensibile....
1) la funzione indicatrice non indica "indicatrice rispetto a quale variabile"
2) tutte le espressioni all'interno dell'integrale (tranne la funzione indicatrice che non si capisce da cosa dipenda) dipendono da $t$ mentre la variabile di integrazione e $x$ e quindi tutto può essere portato fuori....
saluti
Grazie infinite ho risolto il dubbio!
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