Limiti e legge dei grandi numeri
Salve a tutti, ho un problema con la legge dei grandi numeri e con il calcolo di alcuni limiti. Il mio dubbio è questo:
ad esempio ho $ (X_n)_n$ variabili aleatorie Normali Standard, e definisco $S_n = sum_(i = 1)^(n) X_i^2$
Si ha quindi che $S_n$ ha legge Gamma(1/2,1/2). Ora devo calcolare :
$ lim_(n -> ∞) P (S_n > n)$
Il mio dubbio è ha senso dire una cosa del genere ?
$ lim_(n -> ∞) P (S_n/n > 1) = P(E[X_i^2] > 1) = P(3 > 1) = 1$
non mi convince molto....
ad esempio ho $ (X_n)_n$ variabili aleatorie Normali Standard, e definisco $S_n = sum_(i = 1)^(n) X_i^2$
Si ha quindi che $S_n$ ha legge Gamma(1/2,1/2). Ora devo calcolare :
$ lim_(n -> ∞) P (S_n > n)$
Il mio dubbio è ha senso dire una cosa del genere ?
$ lim_(n -> ∞) P (S_n/n > 1) = P(E[X_i^2] > 1) = P(3 > 1) = 1$
non mi convince molto....
Risposte
Io userei semplicemente la disuguaglianza di Chebychev:
$P(S_n\geq n)\leq \frac{E(S_n)}{n}$
Comunque per la legge di $S_n$ sono sbagliati i parametri, dovrebbero essere $(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$.
Il tuo metodo comporta di poter invertire il segno di integrale con quello di limite, in questo caso dovresti avere quantomeno la convergenza forte di $\frac{S_n}{n}$ al suo limite. Applicando Chebycev ti risparmi del lavoro.
$P(S_n\geq n)\leq \frac{E(S_n)}{n}$
Comunque per la legge di $S_n$ sono sbagliati i parametri, dovrebbero essere $(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$.
Il tuo metodo comporta di poter invertire il segno di integrale con quello di limite, in questo caso dovresti avere quantomeno la convergenza forte di $\frac{S_n}{n}$ al suo limite. Applicando Chebycev ti risparmi del lavoro.
Si hai ragione ho sbagliato a scrivere i parametri, volevo scrivere che le $X_i^2$ hanno legge Gamma(1/2,1/2). 
Comunque se uso la disuguaglianza:
$P(S_n\geq n)\leq \frac{E(S_n)}{n}$
e faccio tendere $n->∞$ il secondo membro non va a 0 ???
Comunque se uso la disuguaglianza:
$P(S_n\geq n)\leq \frac{E(S_n)}{n}$
e faccio tendere $n->∞$ il secondo membro non va a 0 ???
Allora ${E[S_n]}/n=1$ che quindi non ti da molta informazione per la disuguaglianza citata; però magari per il terome centrale di convergenza
Non avevo fatto il conto, ma effettivamente in questo caso la disuguaglianza di Markov (avevo scritto Chebychev) è troppo blanda e non funziona.
Potresti provare ad esplicitare direttamente la probabilità $P(S_n>n)$ e vedere che succede, magari l'approccio "distribuzionale" è più efficace.
Potresti provare ad esplicitare direttamente la probabilità $P(S_n>n)$ e vedere che succede, magari l'approccio "distribuzionale" è più efficace.
"Andrea2976":
magari l'approccio "distribuzionale" è più efficace.
Intendi usare la funzione di ripartizione di $S_n$ ? Perchè non so quanto efficace possa rivelarsi in questo caso
. La distribuzione per una variabile aleatoria Gamma(n/2, 1/2) non è proprio la più semplice che esista; e in più dovrei calcolare il limite per $n->∞$ della funzione Gamma di Eulero calcolata in n/2...mmm non mi convince nemmeno questo .Secondo me bisogna utilizzare la legge dei grandi numeri ma mi sfugge come..ci sto ancora pensando
Secondo me bisogna applicare il teorema centrale di convergenza
Ed il risultato viene $1/2$
Ed il risultato viene $1/2$
"Sergio":
Non capisco perché tirare fuori la Gamma, visto che qui se ne ha un facile caso particolare.
Si effettivamente hai ragione in questo caso non serve. Inoltre devo dire che avevo sbagliato a calcolare $E[X_1^2]$
comunque il mio ragionamento è uguale al tuo, ma il mio dubbio è: si puo fare ???
cioè se
$E[X_1^2] = 1$ si può dire che $ lim_(n -> ∞) P(S_n > n) = lim_(n -> ∞) P(S_n/n > 1) = P(E[X_1^2] > 1) = P(1 > 1) = 0$ ????
PS. Naturalmente le $(X_n)_n$ sono indipendenti e i.d.
$Y_i=X_i^2$ con $X_i$ normali standard i.i.d.
Poniamo $S_n=\sum_{i=1}^n Y_i$
Ora il teorema centrale di convergenza abbiamo che:
$\frac{S_n-E[S_n]}{sqrt(V[S_n])}$ converge in distribuzione ad una normale standard.
$E[S_n]=n$ e $[V[S_n]=2n]$.
A questo punto:
$P(S_n>n)=P(\frac{S_n-n}{sqrt(2n)}>0)$;
per $n$ che tende a più infinito (applicando il teorema centrale di confergenza) abbiamo che la nostra probabilità converge a $F_N(0)=1/2$.
Poniamo $S_n=\sum_{i=1}^n Y_i$
Ora il teorema centrale di convergenza abbiamo che:
$\frac{S_n-E[S_n]}{sqrt(V[S_n])}$ converge in distribuzione ad una normale standard.
$E[S_n]=n$ e $[V[S_n]=2n]$.
A questo punto:
$P(S_n>n)=P(\frac{S_n-n}{sqrt(2n)}>0)$;
per $n$ che tende a più infinito (applicando il teorema centrale di confergenza) abbiamo che la nostra probabilità converge a $F_N(0)=1/2$.
Non sono infatti riuscito moto bene a seguire il tuo filo logico
Quindi quello che tu vuoi dire è: essendo vera la LGN allora deve essere $lim_{n\to\infty}P(S_n>n)=0$.
Ma $|\frac{S_n}{n}-\mu|>\varepsilon$ vuol dire $\frac{S_n}{n}in (-infty,\mu-\varepsilon)uu(\mu+\varepsilon,+infty)$ e la probabilità di questo evento
converge a 0; ma non vuol dire che la probabilità di $\frac{S_n}{n}in (\mu,+infty)$ converge a 0.
Fai attenzione alla differenza tra LGN e TCdC:
(Dall'Aglio pp.170)
considera $Z_n=\frac{S_n-n\mu}{n^\alpha}$ e $V[Z_n]=\sigma^2/(n^{2\alpha-1})$;
se $\alpha>1/2$ converge a 0 (per $alpha=1$ hai la LGN); per $\alpha=1/2$ hai $\sigma^2$ (ed è in relazione con il TCdC).
se non fosse $lim_{n\to\infty}P(S_n>n)=0$ , non sarebbe vero nemmeno $\lim_{n \to\infty}P(|\frac{S_n}{n}-1|>\varepsilon)=0$(A parte che questa citazione mi è costata una fatica; non mi copiava la formula; ?Breve Spiegazione?).
, cioè non sarebbe vera la legge dei grandi numeri.
Quindi quello che tu vuoi dire è: essendo vera la LGN allora deve essere $lim_{n\to\infty}P(S_n>n)=0$.
Ma $|\frac{S_n}{n}-\mu|>\varepsilon$ vuol dire $\frac{S_n}{n}in (-infty,\mu-\varepsilon)uu(\mu+\varepsilon,+infty)$ e la probabilità di questo evento
converge a 0; ma non vuol dire che la probabilità di $\frac{S_n}{n}in (\mu,+infty)$ converge a 0.
Fai attenzione alla differenza tra LGN e TCdC:
(Dall'Aglio pp.170)
considera $Z_n=\frac{S_n-n\mu}{n^\alpha}$ e $V[Z_n]=\sigma^2/(n^{2\alpha-1})$;
se $\alpha>1/2$ converge a 0 (per $alpha=1$ hai la LGN); per $\alpha=1/2$ hai $\sigma^2$ (ed è in relazione con il TCdC).
"Sergio":
F
In parole povere (l'esempio che fa Dall'Aglio), tirando $n$ volte una moneta, per $n to oo$ la frequenza relativa delle teste sarà, con alta probabilità, vicina a $1"/"2$; indicando con $T$ il numero di teste:
$(T-n*0.5)/n to 0$
ma il numero assoluto delle teste sarà molto diverso dalla metà dei lanci, e sempre più grande.
mi potresti spiegare meglio questo esempio ? non sono sicuro di averlo capito
.. cioè se lancio n volte una moneta per $n to oo$ il numero di teste che vengono fuori è maggiore di $n/2$ ma la frequenza con cui vengono fuori è 1/2 ? non mi quadra...
Aaan si si...adesso ho capito
Comunque oggi il professore ha corretto gli esercizi ed ha usato lo stesso metodo di DajeForte
Effettivamente, però, utilizzare la legge dei grandi numeri per calcolare questi limiti non è molto utile visto che (almeno mi sembra), utilizzandola, si possano avere solo due valori, o 0 o 1
PS Comunque grazie per l'aiuto
Comunque oggi il professore ha corretto gli esercizi ed ha usato lo stesso metodo di DajeForte
Effettivamente, però, utilizzare la legge dei grandi numeri per calcolare questi limiti non è molto utile visto che (almeno mi sembra), utilizzandola, si possano avere solo due valori, o 0 o 1
PS Comunque grazie per l'aiuto
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