Legge dei grandi numero e leggi di variabili casuali indipendenti

[LIA27022015]

Per $n \in \mathbb N$ siano $Y_n \in L_2 (\Omega, F, \mathbb P)$ variabili casuali indipendenti tali che $E[Y_n] = (1 + \frac {1}{n})^n$ e $E[Y_n^2] \leq 10$.
Definisci $W_n= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$
Cosa possiamo dire sulla sequenza $W_n$?

[DajeForte]

Ma è un esercizio che proponi al forum o un problema sul quale sei fermo/a. Se la seconda dove ti blocchi o che idee/dubbi hai?

[LIA27022015]

La seconda. Penso che la serie vada a "e" ma non ne sono sicura, so che la media delle sequenze di variabili iid (ciascuna con varianza finita) tende alla media delle variabili iid stesse ma sono bloccata e non so come andare avanti.

[DajeForte]

È giusto che pensi che la successione converge ad e, però come sai i modi di convergenza sono diversi. Ad esempio in questo caso puoi provare a calcolare

$$E[(W_n-e)^2]]= E[((W_n-\mu_n)+(\mu_n-e))^2]=...$$ dove $\mu_n=E[W_n]$, e vedere che converge a zero, dimostrando la convergenza in L2 della successione.
Puoi anche dimostrare la convergenza quasi certa mediante la legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.