Legendre transform
Ho questo esercizio che non so minimamente come iniziare perché a lezione abbiamo solo visto teoria, senza mai guardare un esempio pratico.
Qualcuno mi può indirizzare su almeno quali conti devo fare per risolverlo?
Dalla sole parti teoriche brancolo nel buio e non so come uscirne.
Trovare la trasformazione di Legendre della log Moment generating function per $X_1~Be(p)$ dove $p in (0,1)$
Grazie
Qualcuno mi può indirizzare su almeno quali conti devo fare per risolverlo?
Dalla sole parti teoriche brancolo nel buio e non so come uscirne.
Trovare la trasformazione di Legendre della log Moment generating function per $X_1~Be(p)$ dove $p in (0,1)$
Grazie
Risposte
Come sono definite queste cose?
Se usi le definizioni, cosa succede?
Se usi le definizioni, cosa succede?
La funzione generatrice di momenti
$f(t)=1-p + pe^t$
Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.
Già qui non vedo come esprimere in maniera più semplice $h(t)$.
La Legendre transformation è per def:
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-h(t))$
E quindi avrei:
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$
Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.
Grazie
$f(t)=1-p + pe^t$
Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.
Già qui non vedo come esprimere in maniera più semplice $h(t)$.
La Legendre transformation è per def:
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-h(t))$
E quindi avrei:
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$
Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.
Grazie
"GuidoFretti":
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$
Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.
Calcoli la derivata rispetto a $t$ e la metti uguale a 0? Se la derivata non è mai 0 devi trovare il sup in un altro modo. Potrebbe essere infinito o magari i valori possibili sono limitati e quindi il sup è comunque finito. Non ho provato a calcolare nulla.
"GuidoFretti":
La funzione generatrice di momenti
$f(t)=1-p + pe^t$
Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.
Occhio che, se è giusta la funzione generatrice da te scritta, è $h(t)=\log(1-p+pe^t)$; ti sei perso una $p$ che moltiplica $e^t$.
"Mephlip":
Occhio che, se è giusta la funzione generatrice da te scritta, è $h(t)=\log(1-p+pe^t)$; ti sei perso una $p$ che moltiplica $e^t$.
Adesso non devo dirlo io! Grazie.
"Mephlip":
[quote="GuidoFretti"]La funzione generatrice di momenti
$f(t)=1-p + pe^t$
Per definizione il log moment è $h(t)=log(f(t))$
E quindi nel mio caso avrei:
$h(t)=log(1-p+e^(t))$.
Occhio che, se è giusta la funzione generatrice da te scritta, è $h(t)=\log(1-p+pe^t)$; ti sei perso una $p$ che moltiplica $e^t$.[/quote]
Grazie si, hai ragione...nel battere mi sono perso una $p*$
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
$l(z)=Sup(t in RR)(tz-log(1-p+e^(t)))$
Ma ora non so più come andare avanti e come calcolare questo sup al variare di $t$.
Calcoli la derivata rispetto a $t$ e la metti uguale a 0? Se la derivata non è mai 0 devi trovare il sup in un altro modo. Potrebbe essere infinito o magari i valori possibili di $l$ sono limitati e quindi il sup è comunque finito. Non ho provato a calcolare nulla.[/quote]
Sinceramente non ho capito.
Quindi calcolo la derivata di $l(t)$ e vedo se è zero, come un normale studio di funzione.
Fin qui ok, ma poi il $Sup$ chi mi assicura che sia qual punto per cui $l'(t)=0$?
Ma se cosi non fosse, non ho capito come debba ragionare per trovare questo quanto vale effettivamente $l(t)$
"GuidoFretti":
Sinceramente non ho capito.
Quindi calcolo la derivata di $l(t)$ e vedo se è zero, come un normale studio di funzione.
No. $l$ è una funzione di $z$. È definita come il sup su tutti i valori reali di $t$ di una qualche espressione.
Non dicono "max" perché ci potrebbe non essere un massimo. E certo, quello che trovi derivando rispetto a $t$ e mettendo a 0 potrebbe essere un minimo. E magari il sup non è un massimo locale. In generale, sembra un bel casino.
Non conoscevo la trasformata di Legendre prima di.. ieri? Quindi ne sai quanto me. Abbiamo una definizione. Usiamola!
"GuidoFretti":
Fin qui ok, ma poi il $Sup$ chi mi assicura che sia qual punto per cui $l'(t)=0$?
Ma se cosi non fosse, non ho capito come debba ragionare per trovare questo quanto vale effettivamente $l(t)$
Non avrei dovuto dire "valori di $l$". Ho modificato il mio messaggio.
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
Sinceramente non ho capito.
Quindi calcolo la derivata di $l(t)$ e vedo se è zero, come un normale studio di funzione.
No. $l$ è una funzione di $z$. È definita come il sup su tutti i valori reali di $t$ di una qualche espressione.
Non dicono "max" perché ci potrebbe non essere un massimo. E certo, quello che trovi derivando rispetto a $t$ e mettendo a 0 potrebbe essere un minimo. E magari il sup non è un massimo locale. In generale, sembra un bel casino.
Non conoscevo la trasformata di Legendre prima di.. ieri? Quindi ne sai quanto me. Abbiamo una definizione. Usiamola![/quote]
Mi sto perdendo: perché se $l(z)$ è una funzione di $z$ io cerco di calcolo la derivata rispetto a $t$?
Inoltre come posso cercare il $Sup$ su tutti i $t in RR$ dell'espressione che ho ottenuto se questa dipende anche da $p$ e $z$?
È qui che con la sola definizione non so più andare avanti minimamente
"GuidoFretti":
Mi sto perdendo: perché se $l(z)$ è una funzione di $z$ io cerco di calcolo la derivata rispetto a $t$?
Guarda la definizione. $l(z)$ è il sup (su $t$ in $RR$) dei valori di un'espressione che contiene $t$. Quindi trovi il valore di $t$ che massimizza l'espressione (e poi il valore dell'espressione per quel valore di $t$) o trovi il sup dei valori dell'espressione se non c'è un massimo.
"GuidoFretti":
Inoltre come posso cercare il $Sup$ su tutti i $t in RR$ dell'espressione che ho ottenuto se questa dipende anche da $p$ e $z$?
Se cambi $t$, non succede nulla a $z$ e $p$. Hai provato a massimizzare l'espressione rispetto a $t$? (Io sì. Se posso farlo io puoi farlo tu. Ti avverto che il mio duppallometro dice "2" ma alla fine il compito è tuo. Mi sa che ti tocca.)
Dunque se ho capito bene quello che devo fare è calcolare la derivata rispetto a $t$ di $l(z)$, porla uguale a zero e fare uno "studio di funzione" per cercare il
massimo di quella funzione?
Se lo trovo quello è automaticamente anche il mio $Sup$ ed ho concluso.
Trovato quel valore di $t$ lo metto nell'espressione di $l(z)$ ed ho finito.
Perché io calcolo
$d/(dt)(tz-log(1-p+pe^t))=z-(pe^t)/(1-p+pe^t)$
Ma poi se pongo uguale a zero ottengo
$(pe^t)/(1-p+pe^t)=z$ e non so più come andare avanti per trovare il valore di $t$.
Soprattutto per capire se è una max o un min non dovrei fare anche lo studio del segno della derivata?
E qui mi perdo ancora di più.
Se riesci a farmi capire te ne sarei grato, grazie
massimo di quella funzione?
Se lo trovo quello è automaticamente anche il mio $Sup$ ed ho concluso.
Trovato quel valore di $t$ lo metto nell'espressione di $l(z)$ ed ho finito.
Perché io calcolo
$d/(dt)(tz-log(1-p+pe^t))=z-(pe^t)/(1-p+pe^t)$
Ma poi se pongo uguale a zero ottengo
$(pe^t)/(1-p+pe^t)=z$ e non so più come andare avanti per trovare il valore di $t$.
Soprattutto per capire se è una max o un min non dovrei fare anche lo studio del segno della derivata?
E qui mi perdo ancora di più.
Se riesci a farmi capire te ne sarei grato, grazie
Hai:
$$\frac{pe^t}{1-p+pe^t}=z \iff pe^t=z-pz+pze^t$$
Quest'ultima si risolve esplicitamente.
$$\frac{pe^t}{1-p+pe^t}=z \iff pe^t=z-pz+pze^t$$
Quest'ultima si risolve esplicitamente.
Ci sono ma fino ad un certo punto.
Se non ho sbagliato conti,
$e^t=(z(1-p))/(p(1-z))$ e quindi trovo
$t=log((z(1-p))/(p(1-z)))$
Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?
Non devo studiare il segno della derivata?
Grazie
Se non ho sbagliato conti,
$e^t=(z(1-p))/(p(1-z))$ e quindi trovo
$t=log((z(1-p))/(p(1-z)))$
Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?
Non devo studiare il segno della derivata?
Grazie
"GuidoFretti":
Dunque se ho capito bene quello che devo fare è calcolare la derivata rispetto a $t$ di $l(z)$
No.
"GuidoFretti":
Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?
In questo caso specifico, guardando la funzione è chiaro che non può avere un minimo locale. In generale, magari è almeno potenzialmente un casino.
"GuidoFretti":
nessuna informazione su $z$
Beh, lo fai per ogni $z$. In ogni singolo caso sai tutto su $z$. È il valore che stai usando in quel momento.
"ghira":
[quote="GuidoFretti"]
Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?
In questo caso specifico, guardando la funzione è chiaro che non può avere un minimo locale. In generale, magari è almeno potenzialmente un casino.[/quote]
Quindi la t che ho trovato adesso sostituendola mi dà l'espressione di $l(z)$.
Ma perché osservando la funzione è chiaro che non possa avere un minimo e quella $t$ trovata è proprio il $max$ e corrisponde al $Sup$?
Non mi è chiaro e non ci sarei arrivato.
Mi confermi che
$l(z)=t*log((z(1-p))/(p(1-z)))-log(1-p+(z(1-p))/(p(1-z)))$
Grazie
"GuidoFretti":
Ma perché osservando la funzione è chiaro che non possa avere un minimo e quella $t$ trovata è proprio il $max$ e corrisponde al $Sup$?
Credo che per molti valori di $z$ il Sup sia infinito.
"GuidoFretti":
Mi confermi che
$l(z)=t*log((z(1-p))/(p(1-z)))-log(1-p+(z(1-p))/(p(1-z)))$
$t$ non può esserci. $l(z)$ è una funzione di $z$. Calcoli un sup su $t$, ma nel risultato $t$ non deve apparire. $p$ va bene.
Rimpiazza $t$ all'inizio col valore che hai trovato prima.
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