Legendre transform

[GuidoFretti1]

Ho questo esercizio che non so minimamente come iniziare perché a lezione abbiamo solo visto teoria, senza mai guardare un esempio pratico.
Qualcuno mi può indirizzare su almeno quali conti devo fare per risolverlo?
Dalla sole parti teoriche brancolo nel buio e non so come uscirne.

Trovare la trasformazione di Legendre della log Moment generating function per $X_1~Be(p)$ dove $p in (0,1)$

Grazie

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]
Ma perché osservando la funzione è chiaro che non possa avere un minimo e quella $t$ trovata è proprio il $max$ e corrisponde al $Sup$?

Credo che per molti valori di $z$ il Sup è infinito.[/quote]

Ma allora come cavolo la definisco questa maledetta $l(z)$.

Cioè devo distinguere i vari casi in base a $z$?

Il $Sup$ non lo facevo sulla $t$ però?

Non sto più capendo come ragionare.

Cioè quel punto che ho trovato all fine è una massimo? Perché?

E $l(z)$ cosa vale alla fine?

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]
Mi confermi che

$l(z)=t*log((z(1-p))/(p(1-z)))-log(1-p+(z(1-p))/(p(1-z)))$

$t$ non può esserci. $l(z)$ è una funzione di $z$. Calcoli un sup su $t$, ma nel risultato $t$ non deve apparire. $p$ va bene.

Rimpiazza $t$ all'inizio col valore che hai trovato prima.[/quote]

Si hai ragione perfettamente!

Grazie

[ghira1]

"GuidoFretti":
Cioè devo distinguere i vari casi in base a $z$?

Almeno potenzialmente, si.

"GuidoFretti":
Il $Sup$ non lo facevo sulla $t$ però?

Sì.

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]
Cioè devo distinguere i vari casi in base a $z$?

Almeno potenzialmente, si.

"GuidoFretti":
Il $Sup$ non lo facevo sulla $t$ però?

Sì.[/quote]


Allora non sto capendo perdonami.

Trovare quel valore esplicito di $t$ a cosa mi è servito?

E adesso come devo ragionare per distinguere quelle $z$.

Parto dall'espressione base di $l(z)$ con ancora il $Sup,$ su $t$?

[ghira1]

"GuidoFretti":
E adesso come devo ragionare per distinguere quelle $z$.

La tua formula per $t$ cosa dice per, per esempio, $z=10$ e $z=-10$? Hai provato a disegnare i grafici della funzione (quella di cui devi trovare il sup) per $z=10$ e $z=-10$?

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]
E adesso come devo ragionare per distinguere quelle $z$.

La tua formula per $t$ cosa dice per, per esempio, $z=10$ e $z=-10$? Hai provato a disegnare i grafici della funzione (quella di cui devi trovare il sup) per $z=10$ e $z=-10$?[/quote]

Mi sono perso perdonami: chiaramente tu fissi $z$ e ragioni al variare di $t$ per calcolare il $Sup$ della funzione?

Allora non ho capito a cosa serviva trovare il valore di $t$ ottenuto ponendo la derivata rispetto a $t$ uguale a zero.

Infine il disegno dei grafici non è mi risulta così semplice: devo fissare $z$ e $p$ e ragionare solo su $t$ al suo variare?

[ghira1]

"GuidoFretti":
Infine il disegno dei grafici non è mi risulta così semplice: devo fissare $z$ e $p$ e ragionare solo su $t$ al suo variare?

$p$ non cambia. E mentre calcoli $l(z)$ per un particolare valore di $z$, $z$ non cambia. Quindi, sì, disegna i grafici per $z=10$ e $z=-10$. Magari con $p=0,5$ tanto per cominciare.

E che valore di $t$ esce dalla tua formula se $z$ è 10 o -10?

[GuidoFretti1]

Cosa intendi scusa con quale valore di $t$ esce se $z=10$ e $p=0,5$?

Cioè fissare quei due valori e calcolare la derivata rispetto a $t$ della funzione ottenuta con quei valori?

[GuidoFretti1]

Ma perdonami in tutto questo non riesco a capire il ragionamento che mi avevi suggerito prima e che ha portato ad ottenere la $t=log(...)$.

A che serviva?

[ghira1]

"GuidoFretti":Cosa intendi scusa con quale valore di $t$ esce se $z=10$ e $p=0,5$?

La formula che hai trovato per il valore di $t$ dove la derivata (rispetto a $t$) di $tz-log(1-p+pe^t)$ è 0.

$t=log((z(1-p))/(p(1-z)))$

Quando $z$ è 10 o -10, cosa succede? Se vuoi usare un valore specifico di $p$ va bene $0,5$. Siamo molto concreti. Se $p$ ha altri valori fra 0 e 1 (ma non esattamente 0 o 1) cambia qualcosa?

[ghira1]

"GuidoFretti":
Trovare quel valore esplicito di $t$ a cosa mi è servito?

Trovare un punto stazionario di $tz-log(1-p+pe^t)$ nella speranza che sia un massimo locale e non un minimo locale o un punto di flesso, e che sia anche un massimo globale.

Ma ci potrebbe non essere un tale punto. Ti ho chiesto varie volte cosa succede quando $z=10$ o $z=-10$. Magari l'ho fatto per un motivo e non sono solo capriccioso e arbitrario.

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]
Trovare quel valore esplicito di $t$ a cosa mi è servito?

Trovare un punto stazionario di $tz-log(1-p+pe^t)$ nella speranza che sia un massimo locale e non un minimo locale o un punto di flesso, e che sia anche un massimo globale.

Ma ci potrebbe non essere un tale punto. Ti ho chiesto varie volte cosa succede quando $z=10$ o $z=-10$. Magari l'ho fatto per un motivo e non sono solo capriccioso e arbitrario.[/quote]

Hai ragione, ma ieri non potevo fare i conti e non ho risposto.

Se fisso $z=10$ e $p=1/2$ (in realtà però tale ragionamento vale indipendente da $p$)allora ottengo $10t-log(1/2+1/2e^t)$ e $t=log(-10/9)$ che è impossibile.

In particolare osservo che $(1-p)$ con la condizione su $p$ è sempre positivo, e quindi se $z>=1$ allora il punto stazionario non esiste e $Sup=+infty$ perché la funzione a $+infty$ vale $+infty$

Se $z<0$ ancora l'argomento del logaritmo è negativo e quindi il $Sup=+infty$ perché per $t$ che tende a $-infty$ la funzione tende a $+infty$.

Se $z=0$ allora il $Sup=+infty$

Infine se $ 0

Spero di non aver fatto confusione...torna qualcosa di questo ragionamento?

Grazie

[ghira1]

"GuidoFretti":[
Infine se $ 0

Cosa? Perché?

[GuidoFretti1]

vado con ordine...la parte prima torna anche a te?

Sia $p in (0,1)$ e $0
$zt-log(1-p+pe^t)$; facendo la derivata trovo che un punto stazionario è

$t=(z(1-p))/(p(1-z))$
In particolare il numeratore è sempre positivo e anche il denominatore, quindi il logaritmo ha senso di esistere.

Ora $lim_(t->+infty) (tz-log(1-p+pe^t))=+infty$ e $lim_(t->-infty) (tz-log(1-p+pe^t))=-infty$

Inoltre la funzione è crescente, quindi quel punto non può essere un minimo o un massimo.

Ciò che mi interessa è che anche in questo caso il $Sup=+infty$.

Dimmi se ho sbagliato qualcosa, grazie

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"][
Infine se $ 0

Cosa? Perché?[/quote]


Errore mio: se $0
Di conseguenza in quel caso $l(z)$ ha un'espressione ben definita e che si ottiene sostituendo alla $t$ dell'espressione di $l(z)$ il corrispondente valore in funzione di $z$ e $p$

[ghira1]

"GuidoFretti":
Di conseguenza in quel caso $l(z)$ ha un'espressione ben definita e che si ottiene sostituendo alla $t$ dell'espressione di $l(z)$ il corrispondente valore in funzione di $z$ e $p$

D'accordo.

[GuidoFretti1]

"ghira":[quote="GuidoFretti"]
Di conseguenza in quel caso $l(z)$ ha un'espressione ben definita e che si ottiene sostituendo alla $t$ dell'espressione di $l(z)$ il corrispondente valore in funzione di $z$ e $p$

D'accordo.[/quote]

Finalmente ci sono arrivato alla soluzione!

Grazie mille davvero per il tuo aiuto e la tua pazienza!

[ghira1]

"GuidoFretti":
Finalmente ci sono arrivato alla soluzione!

Grazie mille davvero per il tuo aiuto e la tua pazienza!

Questo esercizio mi sembra molto più difficile dell'altro.