Le viti prodotte da una certa fabbrica...

[rino.f.95]

Le viti prodotte da una certa fabbrica presentano un difetto, in maniera indipendente una dall’altra, con probabilità 0.01. La fabbrica vende le viti in confezioni da 100 e sostituisce le confezioni che contengono più di 3 viti difettose.
(a) Qual' è la probabilità che una confezione venduta sia difettosa (cioè debba essere restituita)?
(b) Qual `e il numero medio di viti difettose in una confezione?
(c) Se un negozio di ferramenta ordina una confezione alla settimana, qual' è la probabilità che la prima confezione difettosa venga comprata al primo mese?
(d) Mediamente dopo quante settimane si restituisce la prima confezione difettosa?
[Risposta: 1) 0.0184 ; 2) 1; 3) 0.0715; 4) 55 (intero successivo)]

Questo esercizio mi lascia perplesso...
Ho risolto i punti a) e b) nel seguente modo:
a)
la distribuzione da usare è binomiale, con
\( X \backsim \text{Bin}( \text{n}=100 \text{, } \text{p}=0,01) \text{: "numero di viti difettose in 100 pezzi"} \)
per cui:
\( P( \text{ "una confezione venduta è difettosa" } ) = P(X>=3) = 0.0184 \)

b)
\( E(X) = np = 1 \)

c)
Ho supposto che la distribuzione da usare in questo caso, sia geometrica, con
\( Z \backsim \text{Geo}( \text{p}=0,0184) \text{: "numero di settimane prima di aver comprato una confezione difettosa "} \)
per cui:
\( P( \text{"la prima confezione difettosa viene acquistata entro il primo mese"} ) \)
\( = 1- P( \text{"la prima confezione difettosa viene acquistata dopo il primo mese"} ) \)
\( = 1 - P( \text{"devono passare 4 settimane prima che venga acquistata una confezione difettosa"} ) \)
\( =1 - P(Z = 4) = 1 - (1-p)^3 p = 0,9826 \)
che se confrontato alle soluzioni del testo risulta totalmente errato.
Come devo procedere in questo punto?

d)
Tra l'altro, si ha che
\( E(Z) = 1/p = 54,3478 \backsim 55 \)
, per questo a maggior ragione ho ho supposto che l'ipotesi della distribuzione geometrica nel punto c) sia giusta.

[Lo_zio_Tom]

dunque....va abbastanza bene ma ti perdi sempre nel classico "bicchier d'acqua"

a)...il risultato è giusto ma hai scritto una cosa sbagliata: probabilità che in una confezione da 100 vi siano più di 3 viti difettose è

$P{X>3}=P{X>=4}=1-p(0)-p(1)-p(2)-p(3)=0.0184$

b) giusto

c) è molto semplice: supponendo che ci siano 4 settimane in un mese, e sapendo che la distribuzione in oggetto è una geometrica di parametro $p=0.0184$ trovi subito che la probabilità cercata è

$0.0184+0.0184\cdot0.9816+0.0184\cdot0.9816^2+0.0184\cdot0.9816^3=0.0715$

ma anche senza fare questi conti, basta usare la formula della funzione di ripartizione di una geometrica (che dovrebbe esserti nota)

$F_(X)(4)=1-q^4=1-0.9816^4=0.0715$

d) giusto


ciao ciao

[rino.f.95]

Ok ho interpretato male l'uso della geometrica! Si per il punto a) ho sbagliato a scrivere me ne rendo!! Grazie mille!!