Lancio di Monete

[sportek]

riporto il testo dell'esercizio: Si lanciano 2 monete eque. Calcolare la probabilità di ottenere 2 teste , se il primo lancio ha dato testa. Calcolare poi la probabilità di ottenere 2 teste, sapendo che almeno uno dei due lanci ha dato esito testa. Confrontare queste due probabilità.

Adesso guardando lo spazio campionario a queste domande è abbasanza semplice rispondere: il primo quesito da come risultato 1/2, perchè sapendo che il primo lancio è testa, lo spazio campionario viene dimezzatto dei 4 possibili risultati (TT,CT,TC,CC) e quindi $ Pr(X=2|Y=1)=1/2 $.

La cosa assurda è che non riesco ad arrivare allo stesso risultato usando le formule e purtroppo il mio prof è molto fissato con le formule scritte bene! Vi dico come ho proceduto io, ma il risultato non torna:

$ Pr(X=2|Y=1)=(Pr(Y=1|X=2)*Pr(X=2))/(Pr(Y=1)) $
$ (1/2*1/4)/1/2=1/4!= 1/2 $ non saprei davvero come altro procedere


ugualmente per il secondo quesito la risposta si vede che è =1/3 perchè ciò che mi chiede il problema ovvero probabilità(TT) sapendo che è uscita una testa o al primo o al secondo lancio significa che lo spazio campionario si riduce a (TC,CT,TT) e TT è 1/3 dei possibili risultati. analogamente utilizzando le formule non pervengo al risultato.

$ Pr(X=2|Y>=1)=(Pr(Y>=1|X=2)*Pr(X=2))/(Pr(Y>=1) $
$ (1/4*1/4)/(3/4)=1/12!= 1/3 $

mi rendo conto che è davvero semplice, ma non mi tornano i risultati. Grazie a tutti e buona vigilia di Natale

[Lo_zio_Tom]

Al numeratore della formula della probabilità condizionata ci va la probabilità dell'intersezione dei due eventi

$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))$

ovvero, nel tuo caso, la probabilità di ottenere 2 teste:$1/4$

Infatti, ponendo

A: Escono due teste

B: Il primo lancio è testa

C: almeno uno dei due lanci è testa

hai:

$A={T T}$

$B={TC,T T}$

$C={CT,TC,T T}$

Ed è evidente che sia $(A nn B)$ che $(A nn C)$ hanno entrambi come risultato solo e soltanto l'evento ${T T}$ di probabilità $1/4$, dato che $A sub B$ e $A sub C$

Quindi in definitiva, applicando le formule, come dici tu, ottieni

$P(A|B)=(P(A))/(P(B))$

e

$P(A|C)=(P(A))/(P(C))$

e già da qui puoi rispondere al secondo e più importante quesito, ovvero quello che ti chiede di confrontare le due probabilità condizionate.

PS: tu sei riuscito a calcolare addirittura un'intersezione diversa nei due casi.. ....

Volendo procedere come hai fatto tu, benché inutilmente complicato, arriveresti comunque al medesimo risultato:

"sportek":

$ Pr(X=2|Y=1)=(Pr(Y=1|X=2)*Pr(X=2))/(Pr(Y=1)) $
$ (1/2*1/4)/(1/2)=1/4!= 1/2 $

Qui hai fatto un errore gravissimo, confondendo la probabilità marginale con quella condizionata.

Infatti è evidente che $P(Y=1|X=2)=1$

in quanto stai calcolando la probabilità che il primo lancio sia Testa dato che sono uscite DUE TESTE!!!!!

Vi sono poi errori formali di notazione da non sottovalutare:

Prima indichi con $Y=1$ l'evento: esce testa al primo lancio e poi indichi con $Y>=1$ l'evento: esce almeno una testa...ma allora significa che $Y=1$ è l'evento: esce una testa, che non c'entra nulla con ciò che intendi...insomma c'è un bel macello!

Se posso permettermi, ti consiglio di studiare molto meglio la teoria prima di fare esercizi perché andare avanti con queste gravi lacune è del tutto controproducente.


Buon Natale anche a te