Lancio di 5 dadi
Ciao a tutti, stavo cercando di rifare questo esercizio di probabilità svolto a lezione del mio professore (usando la statistica di Maxwell-Boltzmann) usando, invece, un approccio combinatorio.
Vengono lanciati contemporaneamente 5 dadi perfetti.
Calcolate la probabilità degli eventi elencati qui di seguito:
a) {tutti i dadi danno punteggi diversi fra loro}
b) {due dadi danno punteggi uguali fra loro e gli altri tre danno punteggi tutti diversi} (“coppia”)
c) {tre dadi danno punteggi uguali fra loro e gli altri due danno due punteggi diversi} (“tris”)
d) {quattro dadi danno punteggi uguali fra loro e uno da un punteggio diverso} (“poker”)
e) {tutti i dadi danno lo stesso punteggio} (“jazzi”)
f) {due diverse coppie di punteggi fra loro uguali e un punteggio diverso dagli altri due} (“doppia coppia”)
g) {tre punteggi uguali fra loro e gli altri due uguali fra loro e diversi dal precedente} (“full”).
Per ora ho trovato |$\Omega$ | =$6^5$ dato che per ogni dado ho 6 possibili esiti.
Il mio problema principale è capire se devo tenere conto dell'ordine o no. Dal testo dell'esercizio semrerebbe di no, ma da alcuni risultati del professore mi viene il dubbio!
Per esempio nel punto a) lui procede così
$((( , ,5, , , ),(1,1,1,1,1,0))*((6),(1)))/6^5$
Dove il primo termine è un multinomiale.
Io invece avevo ragionato così:
ho 6 modi per il primo risultato, 5 per il secondo dato che devo escludere quello già considerato e così via...
cioè:
$(6*5*4*3*2)/(6^5)$
e per questo punto sembrerebbe funzionare il mio ragionamento, con un po' di calcoli mi sembra che venga lo stesso risultato.
Ma già per il punto b trovo più difficoltà a far corrispondere le cose.
b) svolgimento del prof:
$((( , ,5, , , ),(2,1,1,1,0,0))*((6),(1))*((5),(3)))/6^5$
mentre il mio ragionamento è questo:
Ho 6 modi per scegliere il numero di cui comparià la coppia, $5*4*3$ modi per gli altri 3 dadi dato che devono essere diversi tra loro. Io mi fermarmi qui mentre mi sono accorta che se considero $((5),(2))=((5),(3))$ corrisponde a quello del prof ma non mi convince...come devo interpretare quest'ultimo coef. binomiale?
$(6*5*4*3)/6^5$ oppure $((6*5*4*3)*((5),(2)))/6^5$
Spero sia chiaro come ho esposto il tutto e che qualcuno mi possa aiutare in modo da svolgere anche i punti successivi con lo stesso metodo, grazie!!
Vengono lanciati contemporaneamente 5 dadi perfetti.
Calcolate la probabilità degli eventi elencati qui di seguito:
a) {tutti i dadi danno punteggi diversi fra loro}
b) {due dadi danno punteggi uguali fra loro e gli altri tre danno punteggi tutti diversi} (“coppia”)
c) {tre dadi danno punteggi uguali fra loro e gli altri due danno due punteggi diversi} (“tris”)
d) {quattro dadi danno punteggi uguali fra loro e uno da un punteggio diverso} (“poker”)
e) {tutti i dadi danno lo stesso punteggio} (“jazzi”)
f) {due diverse coppie di punteggi fra loro uguali e un punteggio diverso dagli altri due} (“doppia coppia”)
g) {tre punteggi uguali fra loro e gli altri due uguali fra loro e diversi dal precedente} (“full”).
Per ora ho trovato |$\Omega$ | =$6^5$ dato che per ogni dado ho 6 possibili esiti.
Il mio problema principale è capire se devo tenere conto dell'ordine o no. Dal testo dell'esercizio semrerebbe di no, ma da alcuni risultati del professore mi viene il dubbio!
Per esempio nel punto a) lui procede così
$((( , ,5, , , ),(1,1,1,1,1,0))*((6),(1)))/6^5$
Dove il primo termine è un multinomiale.
Io invece avevo ragionato così:
ho 6 modi per il primo risultato, 5 per il secondo dato che devo escludere quello già considerato e così via...
cioè:
$(6*5*4*3*2)/(6^5)$
e per questo punto sembrerebbe funzionare il mio ragionamento, con un po' di calcoli mi sembra che venga lo stesso risultato.
Ma già per il punto b trovo più difficoltà a far corrispondere le cose.
b) svolgimento del prof:
$((( , ,5, , , ),(2,1,1,1,0,0))*((6),(1))*((5),(3)))/6^5$
mentre il mio ragionamento è questo:
Ho 6 modi per scegliere il numero di cui comparià la coppia, $5*4*3$ modi per gli altri 3 dadi dato che devono essere diversi tra loro. Io mi fermarmi qui mentre mi sono accorta che se considero $((5),(2))=((5),(3))$ corrisponde a quello del prof ma non mi convince...come devo interpretare quest'ultimo coef. binomiale?
$(6*5*4*3)/6^5$ oppure $((6*5*4*3)*((5),(2)))/6^5$
Spero sia chiaro come ho esposto il tutto e che qualcuno mi possa aiutare in modo da svolgere anche i punti successivi con lo stesso metodo, grazie!!
Risposte
@marta: mi sembra un ottimo esercizio di allenamento, anche perché utilizzando il calcolo combinatorio hai chiaro anche come si forma l'insieme dei casi favorevoli
a) ok, facilissimo
b) due dadi danno il medesimo risultato mentre gli altri 3 danno numeri tutti diversi.
Con 5 dadi posso fare ovviamente $((5),(2))$ coppie di dadi distinte....che devi moltiplicare per 6, dato che posso avere le seguenti coppie di valori: $(11),(22),...,(66)$ e per $5*4*3$ che sono i casi con cui i 3 restanti dadi possono presentarsi con numeri tutti differenti (dato che un valore è occupato dalla coppia con il medesimo risultato)
In definitiva $6*((5),(2))*5*4*3=3600$
che coincide con il risultato del tuo prof
Ora puoi facilmente trovare anche tutte le altre.
Per tuo controllo, la distribuzione delle $6^5=7776$ realizzazioni (e di conseguenza la relativa probabilità) viene così:
Ovviamente l'insieme "one of a kind", tutte diverse, comprende la scala e le realizzazioni di "scala mancata" che non hanno alcun valore.
a) ok, facilissimo
b) due dadi danno il medesimo risultato mentre gli altri 3 danno numeri tutti diversi.
Con 5 dadi posso fare ovviamente $((5),(2))$ coppie di dadi distinte....che devi moltiplicare per 6, dato che posso avere le seguenti coppie di valori: $(11),(22),...,(66)$ e per $5*4*3$ che sono i casi con cui i 3 restanti dadi possono presentarsi con numeri tutti differenti (dato che un valore è occupato dalla coppia con il medesimo risultato)
In definitiva $6*((5),(2))*5*4*3=3600$
che coincide con il risultato del tuo prof
Ora puoi facilmente trovare anche tutte le altre.
Per tuo controllo, la distribuzione delle $6^5=7776$ realizzazioni (e di conseguenza la relativa probabilità) viene così:
Ovviamente l'insieme "one of a kind", tutte diverse, comprende la scala e le realizzazioni di "scala mancata" che non hanno alcun valore.
Perfetto grazie!! Effettivamente ha senso il fattore binomiale $((5),(2))$ dato che devo "sceglierla" la coppia.
Quindi con questo ragionamento il punto c) si svolgerebbe così:
Posso formare un tris in $((5),(3))$ modi possibili e ho 6 scelte per il numero che compare nel tris. Per i restanti due dadi ho $5*4$ casi dato che devono essere diversi e che non devono formare una coppia.
Quindi in totale:
$6*5*4*((5),(3))$ sempre diviso $6^5$
è corretto?
Quindi con questo ragionamento il punto c) si svolgerebbe così:
Posso formare un tris in $((5),(3))$ modi possibili e ho 6 scelte per il numero che compare nel tris. Per i restanti due dadi ho $5*4$ casi dato che devono essere diversi e che non devono formare una coppia.
Quindi in totale:
$6*5*4*((5),(3))$ sempre diviso $6^5$
è corretto?
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