Intervallo fiduciario di ampiezza minima per la media, caso varianza nota

[Locutus]

Salve,

studiando l'argomento in oggetto per l'esame di statistica matematica, mi sono bloccato nella dimostrazione della seguente identità:
\(\displaystyle
{{f(z_{{\alpha \over 2}+\varepsilon})} \over {f(z_{{\alpha \over 2}-\varepsilon})} }= { exp(-2 \varepsilon z_{\alpha \over 2} )}
\)

Dove la funzione f indica la densità normale standard, l'elemento \(\displaystyle z_{{\alpha \over 2} \pm \varepsilon} \) è un intorno del punto \(\displaystyle z_{{\alpha \over 2}} \) , per un generico \(\displaystyle \varepsilon \in \mathbb{R} \), quantile superiore che rende minima l'ampiezza dell'intervallo fiduciario di coefficiente \(\displaystyle 1-\alpha \) per la media della popolazione.
Inoltre, più avanti nel libro di testo, c'è la seguente affermazione: "essendo \(\displaystyle 0<\alpha<0 \) allora \(\displaystyle z_{{\alpha \over 2}} >0 \) ......perché? che mi sono perso o non ricordo???
Spero qualcuno possa essermi d'aiuto.
Grazie in anticipo

Loc!

[Locutus]

Ok, facendo due conti è un dannato errore di stampa!
Peccato che in tutto il libro non si accenni manco all'esistenza dei "percentili"...........

Grazie per il primo aiuto!

[Locutus]

"Locutus":Ok, facendo due conti è un dannato errore di stampa!
Peccato che in tutto il libro non si accenni manco all'esistenza dei "percentili"...........

Grazie per il primo aiuto!

Rettifico quanto da me scritto: i conti del libro sono giusti!
Riassumo in breve: devo calcolare il valore \(\displaystyle \nu \) che rende minima la quantità \(\displaystyle A(\nu) = (z_{\nu}-z_{\nu+1-\alpha}){\sigma \over \sqrt{n}} \).
Si trova che la quantità \(\displaystyle {d \over d\nu}A(\nu)=0 \) per \(\displaystyle \nu={\alpha \over 2} \).
Studio l'andamento della funzione in un intorno di questo punto, al variare di \(\displaystyle \varepsilon \in \mathbb{R} \), dopo aver dimostrato che \(\displaystyle {d \over d\nu}z_{\nu}<0 \) [HYP1].
Dopo diversi artifici di calcolo sulla derivata della funzione "ampiezza"(di cui uno è quello che apre questo mio post) , si trova che:
\(\displaystyle {d \over d\nu}A(\nu) |_{\nu ={\alpha \over 2}+\varepsilon}= {d \over d\nu}z_\nu |_{\nu ={\alpha \over 2}+\varepsilon} \left [1- exp(-2 \varepsilon z_{\alpha \over 2}) \right ]{\sigma \over \sqrt{n}} \).
Qui il libro dice: \(\displaystyle z_{\alpha \over 2} >0 \) in quanto \(\displaystyle 0<\alpha<1 \). Da [HYP1] si ricava che \(\displaystyle {d \over d\nu}A(\nu) \) è negativa [positiva] per \(\displaystyle \varepsilon \) negativo [positivo].
Infatti, tenuto conto [HYP1] si ha che la quantità \(\displaystyle {d \over d\nu}A(\nu) \) è:
Minore di zero (\(\displaystyle A(\nu) \)decresce) sse:
\(\displaystyle \left [1- exp(-2 \varepsilon z_{\alpha \over 2}) \right ]>0 \Leftrightarrow \left [1> exp(-2 \varepsilon z_{\alpha \over 2}) \right ] \Leftrightarrow 0> -2 \varepsilon z_{\alpha \over 2} \) che, data la condizione \(\displaystyle z_{\alpha \over 2} >0 \), risulta verificata se e solo \(\displaystyle \varepsilon <0 \).
Maggiore di zero (\(\displaystyle A(\nu) \)cresce) sse: \(\displaystyle \varepsilon >0 \)
Da cui, il punto \(\displaystyle \nu={\alpha \over 2} \) è di minimo......
Quindi....non so più che pesci prendere! è una settimana che cerco di risolvere questi due punti....spero possiate essermi d'aiuto!

Grazie