Intervallo di confidenza
L'intervallo di confidenza bilatero al 95% per la media $mu$ di una popolazione gaussiana $X(mu,16)$ su un campione di n=9 è lungo 5,23.
Già il testo non mi torna. Se l'intervallo è lungo 5,23 l'ampiezza è la metà, per cui $2,615$ dovrebbe essere uguale a $4/3 * z_(alpha/2)=4/3* 0,8340=1,111!=2,615$ essendo $alpha=0,05$.
Ad ogni modo il quesito chiede di dimostrare la veridicità della seguente affermazione : la lunghezza dell'intervallo bilatero al 99% supera 5,23 se la numerosità del campione è sempre 9. Con i conti (identici a quelli svolti sopra) mi risulta falsa. Del resto è logico pensare che se aumenta il livello di condifenza, a parità di numerosità del campione, l'intervallo aumenta. Ma perché non mi escono i calcoli? Forse sbaglio a calcolare la $z_(alpha/2)$, ma dovrebbe essere nel primo caso visto sopra $P(Z>z_(alpha/2))=alpha/2 = 0,025$ da cui il risultato, le tavole mi sembra di averle usate bene.
Altra cosa: se ho un campione della densità normale e voglio dimostrare che $(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)$ ha densità normale standard, vale la condizione sufficiente di calcolare media e varianza e dire che sono rispettivamente uguali a zero e uno?
Già il testo non mi torna. Se l'intervallo è lungo 5,23 l'ampiezza è la metà, per cui $2,615$ dovrebbe essere uguale a $4/3 * z_(alpha/2)=4/3* 0,8340=1,111!=2,615$ essendo $alpha=0,05$.
Ad ogni modo il quesito chiede di dimostrare la veridicità della seguente affermazione : la lunghezza dell'intervallo bilatero al 99% supera 5,23 se la numerosità del campione è sempre 9. Con i conti (identici a quelli svolti sopra) mi risulta falsa. Del resto è logico pensare che se aumenta il livello di condifenza, a parità di numerosità del campione, l'intervallo aumenta. Ma perché non mi escono i calcoli? Forse sbaglio a calcolare la $z_(alpha/2)$, ma dovrebbe essere nel primo caso visto sopra $P(Z>z_(alpha/2))=alpha/2 = 0,025$ da cui il risultato, le tavole mi sembra di averle usate bene.
Altra cosa: se ho un campione della densità normale e voglio dimostrare che $(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)$ ha densità normale standard, vale la condizione sufficiente di calcolare media e varianza e dire che sono rispettivamente uguali a zero e uno?
Risposte
Ti ho modificato la formula che non riuscivi ad inserire correttamente; per quanto riguarda l'esercizio fai un po' di confusione con l'uso delle tavole.
1) se l'intervallo è largo 5.23 quella è l'ampiezza: non so chi ti abbia detto che l'ampiezza è la metà ma ti assicuro che è sbagliato. Puoi controllare anche qui, a pagina 6
Ad ogni modo, sia considerando l'ampiezza sia la semi-ampiezza come hai fatto tu, utilizzando correttamente le tavole i conti tornano:
Ovviamente l'affermazione è vera (come hai intuito) dato che al 99% aumenta il quantile della normale std (in valore assoluto)[nota]dalle tavole trovi che $z_(0.975)~~ 1,96$ mentre $z_(0.995)~~ 2,58$[/nota]
2) No. Sarebbe sufficiente con n sufficientemente grande, utilizzando il TLC e calcolando la distribuzione asintotica; ma a questo punto la tesi sarebbe vera anche per un campione causale estratto da una qualunque distribuzione con varianza finita, e non necessariamente per un campione estratto da una normale.
Nel tuo caso invece devi calcolare la distribuzione esatta della quantità pivotale e quindi devi dimostrare come si distribuisce $sum_(i=1)^(n)X_(i)$ partendo da n variabili $X_(i)$ iid $N(mu,sigma^2)$
Questo lo dimostri facilmente utilizzando la funzione generatrice dei momenti, dopodiché ti basta calcolare la nuova densità trasformata (questo passaggio lo dovresti fare comunque, anche nel caso di distribuzione asintotica)
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
1) se l'intervallo è largo 5.23 quella è l'ampiezza: non so chi ti abbia detto che l'ampiezza è la metà ma ti assicuro che è sbagliato. Puoi controllare anche qui, a pagina 6
Ad ogni modo, sia considerando l'ampiezza sia la semi-ampiezza come hai fatto tu, utilizzando correttamente le tavole i conti tornano:
$2 z_(alpha/2) sigma/sqrt(n)=A$
$2\cdot1.96\cdot4/3=5.23$
Ovviamente l'affermazione è vera (come hai intuito) dato che al 99% aumenta il quantile della normale std (in valore assoluto)[nota]dalle tavole trovi che $z_(0.975)~~ 1,96$ mentre $z_(0.995)~~ 2,58$[/nota]
2) No. Sarebbe sufficiente con n sufficientemente grande, utilizzando il TLC e calcolando la distribuzione asintotica; ma a questo punto la tesi sarebbe vera anche per un campione causale estratto da una qualunque distribuzione con varianza finita, e non necessariamente per un campione estratto da una normale.
Nel tuo caso invece devi calcolare la distribuzione esatta della quantità pivotale e quindi devi dimostrare come si distribuisce $sum_(i=1)^(n)X_(i)$ partendo da n variabili $X_(i)$ iid $N(mu,sigma^2)$
Questo lo dimostri facilmente utilizzando la funzione generatrice dei momenti, dopodiché ti basta calcolare la nuova densità trasformata (questo passaggio lo dovresti fare comunque, anche nel caso di distribuzione asintotica)
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
Grazie, a quanto pare sbagliavo ad utilizzare le tavole...
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