Intervalli di fiducia caso non-normale

[riccardo.carini]

Sto cercando di svolgere il seguente esercizio:

Sia $X$ una variabile aleatoria con valore atteso e varianza incogniti e sia $(X_1,...,X_n)$ un campione aleatorio i.i.d. associato a $X$. Studiare le proprietà di non distorsione dello stimatore varianza campionaria $S_n^2$ per la varianza $var(X)=\sigma^2$. Determinare quindi un intervallo di fiducia di livello $1-\alpha$ per il parametro $\sigma^2$. Cosa diventa nel caso $n=15$, $\alpha=0.05$ e $S_15^2=3$?

Ho risolto il primo punto facilmente studiando il valore atteso dello stimatore; il mio problema è la seconda richiesta: se sapessi che $X$ ha distribuzione normale potrei calcolare facilmente l'intervallo di fiducia richiesto sfruttando la quantità pivotale

$ (n-1)\frac{S^_n}{\sigma^2} = \chi^2 (n-1) $

ma in questo caso non so come fare! E se dovessi calcolare un intervallo di fiducia per il valore atteso?
Ho pensato che una possibile soluzione potrebbe fare uso del Teorema del Limite Centrale, che però mi consente di approssimare la media standardizzata con una normale standard, e non la mia variabile aleatoria $X$...

[riccardo.carini]

Il prof mi hi ha detto che bisognava rispondere che era necessario supporre che $X$ fosse normale, e a quel punto era fattibile...