Intertempi di arrivo del processo di Poisson
Nei miei appunti, il processo di Poisson di parametro $\lambda$ viene introdotto dandone prima la definizione come un processo a tempi continui $(N_t)_{t\geq 0}$ con traiettorie continue a destra, tale che $N_0=0$, che abbia incrementi indipendenti e tali che $N_t-N_s$ ha legge di Poisson di parametro $\lambda(t-s)$ per ogni $0\leq s
Poi si passa alla costruzione di un processo di Poisson, partendo da una successione $(X_n)$ di variabili indipendenti ed esponenziali di parametro $\lambda$, chiamate intertempi di arrivo, e dalle loro somme parziali $S_n=X_1+...+X_n$, chiamate invece tempi di arrivo. Si definisce allora
$N_t=\sum_{n\geq 1}n\cdot I_{\{S_n\leq t
A questo punto si deve verificare che il processo $(N_t)$ appena definito soddisfa le condizioni della definizione.
Dopo avere osservato che $S_n$ ha legge $\Gamma(n,\lambda)$ e che $N_t$ ha legge $\mathcal{P}(\lambda t)$ di Poisson di parametro $\lambda t$, inizia la parte che non capisco:
si vuole provare che, dati due istanti $0
La dimostrazione di questo fatto inizia considerando il processo $(N_t-N_s)_{t\geq s}$ e i suoi intertempi $\tilde X_n$ che, sotto la condizione $N_s=k$ sarebbero:
$\tilde X_1=X_{k+1}-(s-S_k)$
$\tilde X_h=X_{k+h}$ per $h>1$.
Ecco, come si ricavano queste ultime due espressioni?
Poi si passa alla costruzione di un processo di Poisson, partendo da una successione $(X_n)$ di variabili indipendenti ed esponenziali di parametro $\lambda$, chiamate intertempi di arrivo, e dalle loro somme parziali $S_n=X_1+...+X_n$, chiamate invece tempi di arrivo. Si definisce allora
$N_t=\sum_{n\geq 1}n\cdot I_{\{S_n\leq t
A questo punto si deve verificare che il processo $(N_t)$ appena definito soddisfa le condizioni della definizione.
Dopo avere osservato che $S_n$ ha legge $\Gamma(n,\lambda)$ e che $N_t$ ha legge $\mathcal{P}(\lambda t)$ di Poisson di parametro $\lambda t$, inizia la parte che non capisco:
si vuole provare che, dati due istanti $0
La dimostrazione di questo fatto inizia considerando il processo $(N_t-N_s)_{t\geq s}$ e i suoi intertempi $\tilde X_n$ che, sotto la condizione $N_s=k$ sarebbero:
$\tilde X_1=X_{k+1}-(s-S_k)$
$\tilde X_h=X_{k+h}$ per $h>1$.
Ecco, come si ricavano queste ultime due espressioni?
Risposte
non ho letto attentamente i tuoi calcoli, ma qui puoi trovare due pagine con su alcuni calcoli interessanti sul processo di poisson che penso potrebbero aiutarti (bien entendu ils sont en francaise, mais comme tout le monde dit la mathematique est une language universelle).
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/dev ... oisson.pdf
comunque tu hai che $t>s$ e dunque $1_{S_n\leq t}-1_{S_n\leq s}=1_{s\leq S_n\leq t}$, inoltre se $N_s=k$ tu sai che $S_1,...,S_k\leq s$ (in quanto $S_j$ è una successione crescente) e dunque hai che $ 1_{S_n\leq t}-1_{S_n\leq s}=0$ per $n\leq k$.
Euristicamente (dunque da rifletterci e fare veri calcoli) questo ti dice che i due processi sono uguali fino all'istante $s$, dunque il processo $N_t-N_s$ è $X_{k+1}$ è posizionato come partenza a $s-S_k$ (il $s$ compare per far ripartire da zero tutto, altrimenti hai che la differenza è zero fino a $S_k$, ma poi sul tratto $s$ restante nessuno dei due processi salta e questo lo devi togliere, altrimenti hai un "tempo morto" di lunghezza $s$ che comunque deve essere contato nel primo arrivo $\tilde{X}_1$). Quindi il primo arrivo $\tilde{X}_1$ sarà dato da $X_{k+1}$traslato indietro della partenza $s-S_k$. Spero di aver reso l'idea di quello che voglio dire... per capire meglio pensa preliminarmente al caso in cui $S_k=s$ che è più semplice.
Dopodichè hai solo un processo (in quanto $N_s$ non salta più) e infatti per $h>1$ hai semplicemente i ritorni dal tempo $k$ in poi. Spero di essere stato chiaro, dopodichè si possono fare i calcoli per benino
ma questo te lo concedo a te eheh
Per studiare questi processi è secondo me utile vedere i tempo di arrivo $S_n$ come un processo di punti lungo la retta reale (point random process).
http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/dev ... oisson.pdf
comunque tu hai che $t>s$ e dunque $1_{S_n\leq t}-1_{S_n\leq s}=1_{s\leq S_n\leq t}$, inoltre se $N_s=k$ tu sai che $S_1,...,S_k\leq s$ (in quanto $S_j$ è una successione crescente) e dunque hai che $ 1_{S_n\leq t}-1_{S_n\leq s}=0$ per $n\leq k$.
Euristicamente (dunque da rifletterci e fare veri calcoli) questo ti dice che i due processi sono uguali fino all'istante $s$, dunque il processo $N_t-N_s$ è $X_{k+1}$ è posizionato come partenza a $s-S_k$ (il $s$ compare per far ripartire da zero tutto, altrimenti hai che la differenza è zero fino a $S_k$, ma poi sul tratto $s$ restante nessuno dei due processi salta e questo lo devi togliere, altrimenti hai un "tempo morto" di lunghezza $s$ che comunque deve essere contato nel primo arrivo $\tilde{X}_1$). Quindi il primo arrivo $\tilde{X}_1$ sarà dato da $X_{k+1}$traslato indietro della partenza $s-S_k$. Spero di aver reso l'idea di quello che voglio dire... per capire meglio pensa preliminarmente al caso in cui $S_k=s$ che è più semplice.
Dopodichè hai solo un processo (in quanto $N_s$ non salta più) e infatti per $h>1$ hai semplicemente i ritorni dal tempo $k$ in poi. Spero di essere stato chiaro, dopodichè si possono fare i calcoli per benino
ma questo te lo concedo a te ehehPer studiare questi processi è secondo me utile vedere i tempo di arrivo $S_n$ come un processo di punti lungo la retta reale (point random process).
"fu^2":
non ho letto attentamente i tuoi calcoli, ma qui puoi trovare due pagine con su alcuni calcoli interessanti sul processo di poisson che penso potrebbero aiutarti (bien entendu ils sont en francaise, mais comme tout le monde dit la mathematique est une language universelle).
Infatti, e poi in questo caso il francese è il problema minore (anni fa ho studiato la teoria di Galois sul Mutafian, pur non conoscendo per niente il francese): è proprio il linguaggio universale a risultarmi ostico
"fu^2":
Quindi il primo arrivo $\tilde{X}_1$ sarà dato da $X_{k+1}$traslato indietro della partenza $s-S_k$. Spero di aver reso l'idea di quello che voglio dire... per capire meglio pensa preliminarmente al caso in cui $S_k=s$ che è più semplice.
Non so se è successo mentre guardavo il tuo messaggio (che mi sono stampato) o mentre guardavo il disegno che avevo fatto con gli $S_k$ e i numeri $s$ e $t$ sull'asse delle ascisse e con sopra gli scalini delle $X_k$, ma alla fine forse ho capito:
in pratica, considerando $X_n$ la durata di una lampadina, se il tempo $s$ cade durante il periodo di funzionamento della $k+1$-esima lampadina, tolgo la durata della lampadina fino al tempo $s$ (cioè il tempo trascorso tra la $k$-esima sostituzione $S_k$ e il tempo $s$, ovvero $s-S_k$) dalla sua durata totale $X_{k+1}$, e il risultato diventa la mia $\tilde X_1$. E' così?
"retrocomputer":
in pratica, considerando $X_n$ la durata di una lampadina, se il tempo $s$ cade durante il periodo di funzionamento della $k+1$-esima lampadina, tolgo la durata della lampadina fino al tempo $s$ (cioè il tempo trascorso tra la $k$-esima sostituzione $S_k$ e il tempo $s$, ovvero $s-S_k$) dalla sua durata totale $X_{k+1}$, e il risultato diventa la mia $\tilde X_1$. E' così?
esatto! In pratica tu con la differenza tra le indicatrici levi tutto fino a $S_k$, però il processo $N_s$ dura un $s-S_k$ in più, che bisogna tenere in considerazione, in quanto lo levi dall'altro processo (tu consideri $N_t-N_s$).
OK, credo proprio di avere capito, grazie! 
Purtroppo i problemi per me non sono ancora finiti con questa dimostrazione 
Ricordo che devo provare che
e dopo avere scritto i nuovi intertempi $\tilde X_n$, leggo che bisogna provare che, sotto la condizione $(N_s=k)$, i suddetti intertempi sono indipendenti ed esponenziali di parametro $\lambda$. E questo completerebbe la dimostrazione.
Ora, sono d'accordo che sia utile scoprire che sono indipendenti ed esponenziali, ma non riesco a vedere come da questo si arrivi alla conclusione:
so che per ogni $t$ e per ogni $n$ risulta $P(N_t=n)=\frac{e^{-\lambda t}\lambda^n t^n}{n!}$, e anche questo sembra utile... Mi piacerebbe dunque ottenere un qualcosa tipo $P(N_t-N_s=h|N_s=k)=P(N_{t-s}=h)$...
Ricordo che devo provare che
"retrocomputer":
per ogni $h,k\in NN$ risulta $P(N_t-N_s=h|N_s=k)=\mathcal{P}(\lambda(t-s))(\{h\})$
e dopo avere scritto i nuovi intertempi $\tilde X_n$, leggo che bisogna provare che, sotto la condizione $(N_s=k)$, i suddetti intertempi sono indipendenti ed esponenziali di parametro $\lambda$. E questo completerebbe la dimostrazione.
Ora, sono d'accordo che sia utile scoprire che sono indipendenti ed esponenziali, ma non riesco a vedere come da questo si arrivi alla conclusione:
so che per ogni $t$ e per ogni $n$ risulta $P(N_t=n)=\frac{e^{-\lambda t}\lambda^n t^n}{n!}$, e anche questo sembra utile... Mi piacerebbe dunque ottenere un qualcosa tipo $P(N_t-N_s=h|N_s=k)=P(N_{t-s}=h)$...
Beh se sai che i suddetti tempi sono esponenziali di parametro $\lambda$ e sono indipendenti, hai che il processo $N_t-N_s$ è un processo di poisson di parametro $\lambda$, che però non parte da zero, ma da $s$ (euristicamente perchè si può scrivere nuovamente come somma di indicatrici come prima, formalmente perchè verifichi la definizione...). Questi calcoli sono condizionati al fatto di conoscere i valori di $N_s$. Concordi?
Dunque, condizionato a $N_s$ hai che $N_t-N_s=N_{t-s}$ in legge, ovvero, per definizione (dal momento che questo processo assume valori discreti) la tua ultima riga.
Dunque, condizionato a $N_s$ hai che $N_t-N_s=N_{t-s}$ in legge, ovvero, per definizione (dal momento che questo processo assume valori discreti) la tua ultima riga.
Non ho ancora capito il passaggio, ma forse ho capito meglio cosa non ho capito
L'obiettivo è quello di provare l'indipendenza di $N_s$ e $N_t-N_s$ e per farlo proviamo invece l'indipendenza degli $\tilde X_n$ (che descrivono $N_t-N_s$) con $N_s$, giusto?
E come lo facciamo? Intanto provando che le leggi delle $\tilde X_n$ non cambiano se condiziono rispetto a $N_s=k$. Ma allora non basta provare cosa fanno le $\tilde X_n$ condizionate, devo anche sapere la legge delle $\tilde X_n$ non condizionate. E io lo so che tali leggi non condizionate sono esponenziali di parametro $\lambda$?
Temo di essermi spiegato malissimo, ma faccio fatica a spiegare qualcosa che non ho ben chiaro
L'obiettivo è quello di provare l'indipendenza di $N_s$ e $N_t-N_s$ e per farlo proviamo invece l'indipendenza degli $\tilde X_n$ (che descrivono $N_t-N_s$) con $N_s$, giusto?
E come lo facciamo? Intanto provando che le leggi delle $\tilde X_n$ non cambiano se condiziono rispetto a $N_s=k$. Ma allora non basta provare cosa fanno le $\tilde X_n$ condizionate, devo anche sapere la legge delle $\tilde X_n$ non condizionate. E io lo so che tali leggi non condizionate sono esponenziali di parametro $\lambda$?
Temo di essermi spiegato malissimo, ma faccio fatica a spiegare qualcosa che non ho ben chiaro
Mi rispondo da solo: io conosco un criterio di indipendenza tra due variabili aleatorie con due basi, una su ognuno degli spazi di arrivo delle variabili, ma non conoscevo, o meglio non mi ricordavo, un criterio di indipendenza con una sola base che dice (uso i nomi del problema che sto trattando):
se le leggi di $Y$ rispetto a $P(\cdot |N_s=k)$ sono tutte uguali a una certa legge $\nu$ per ogni $k$, allora $N_s$ e $\tilde X_n$ sono indipendenti e la legge di $Y$ rispetto a $P$ è $\nu$.
se le leggi di $Y$ rispetto a $P(\cdot |N_s=k)$ sono tutte uguali a una certa legge $\nu$ per ogni $k$, allora $N_s$ e $\tilde X_n$ sono indipendenti e la legge di $Y$ rispetto a $P$ è $\nu$.
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