Integrale improprio con la teoria dei Residui
Qualcuno saprebbe aiutarmi a svolgere quest'integrale con la teoria dei residui e i lemmi di Jordan?
$int_-oo^oo(sinx/x)^2dx$
Thank you
$int_-oo^oo(sinx/x)^2dx$
Thank you
Risposte
Se hai studiato la trasformazione di Fourier, questo integrale lo puoi calcolare molto facilmente e il risultato è $pi$.
Pensandoci un po', mi è venuto in mente un metodo che non fa ricorso alla trasformazione di Fourier (e che credo fosse quello richiesto).
Tutto sta nello scrivere $sin^2x$ come $(1-cos2x)/2$.
A questo punto l'integrale diventa
$int_(-oo)^(+oo) (1-cos2x)/(2x^2) dx = 1/2 int_(-oo)^(+oo) (1-cos2x)/x^2 dx$
La funzione integranda altro non è che la parte reale della funzione
$(1-e^(j2x))/x^2$
per cui l'integrale cercato è
$1/2 Re (int_(-oo)^(+oo) (1-e^(j2x))/x^2 dx)$
Possiamo a questo punto integrare lungo una semicirconferenza di raggio infinito centrata nell'origine e contenuta nel semipiano $Im(z)>0$.
Notare che non ci sono poli a parte immaginaria positiva. Inoltre, dal lemma del grande cerchio, l'integrale esteso al semicerchio è nullo.
Lungo la retta reale, la funzione integranda ha un polo semplice nell'origine... per capirlo basta effetturare lo sviluppo di Taylor del numeratore.
Dal lemma del piccolo cerchio, dunque, otteniamo che
$1/2 Re (int_(-oo)^(+oo) (1-e^(j2x))/x^2 dx) = 1/2 pij R[0]$
Il residuo in $0$ della nuova funzione integranda si calcola facilmente ed è pari a $-2j$, per cui in definitiva si ha
$int_(-oo)^(+oo) (sinx^2)/x^2 dx = pi$
Tutto sta nello scrivere $sin^2x$ come $(1-cos2x)/2$.
A questo punto l'integrale diventa
$int_(-oo)^(+oo) (1-cos2x)/(2x^2) dx = 1/2 int_(-oo)^(+oo) (1-cos2x)/x^2 dx$
La funzione integranda altro non è che la parte reale della funzione
$(1-e^(j2x))/x^2$
per cui l'integrale cercato è
$1/2 Re (int_(-oo)^(+oo) (1-e^(j2x))/x^2 dx)$
Possiamo a questo punto integrare lungo una semicirconferenza di raggio infinito centrata nell'origine e contenuta nel semipiano $Im(z)>0$.
Notare che non ci sono poli a parte immaginaria positiva. Inoltre, dal lemma del grande cerchio, l'integrale esteso al semicerchio è nullo.
Lungo la retta reale, la funzione integranda ha un polo semplice nell'origine... per capirlo basta effetturare lo sviluppo di Taylor del numeratore.
Dal lemma del piccolo cerchio, dunque, otteniamo che
$1/2 Re (int_(-oo)^(+oo) (1-e^(j2x))/x^2 dx) = 1/2 pij R[0]$
Il residuo in $0$ della nuova funzione integranda si calcola facilmente ed è pari a $-2j$, per cui in definitiva si ha
$int_(-oo)^(+oo) (sinx^2)/x^2 dx = pi$
Grazie Kroldar, lo svolgimento era proprio quello che il mio docente intendeva dovessi fare, senza applicare la trasformata di Fuorier. Grazie ancora dell'aiuto 
Salve a tutti
Premetto che non ho studiato statistica, però interessandomi ugualmente dell'argomento, ho trovato la seguente scrittura di un integrale:
$ int_(θ ≠ θ_o) f(θ)dθ$
Quello che non mi è chiaro è il significato del simbolo $θ ≠ θ_o$; forse indica gli estremi di integrazione? o che altro?
Grazie a chi mi fornirà un chiarimento
Giovanni C.
Premetto che non ho studiato statistica, però interessandomi ugualmente dell'argomento, ho trovato la seguente scrittura di un integrale:
$ int_(θ ≠ θ_o) f(θ)dθ$
Quello che non mi è chiaro è il significato del simbolo $θ ≠ θ_o$; forse indica gli estremi di integrazione? o che altro?
Grazie a chi mi fornirà un chiarimento
Giovanni C.
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