Integrale della funzione massimo

[V123E]

Salve a tutti

nell'ambito della completezza di un modello statistico , si vuole dimostrare che il modello uniforme (la cui densità è: $f_\theta(x)m_x(dx)=\Pi_{i=1}^n \frac{1}{\theta}\tau(x_i)m_1(dx_i)$), ha come statistica completa la seguente: $\t=x_{(n)}=max(x_1,...,x_n)$ (Ove $\tau$ è l'indicatrice tra 0 e $\theta$ di $x_i$). Quindi si imposta l'equazione $\int_{[0,\theta]^n} \frac{1}{\theta^n}\tau(x_{(n)})\phi(x_{(n)})=0$. Sulle dispense, poi si continua dicendo che questo integrale può essere riscritto come: $\int_0^\theta \frac{1}{\theta^n} nx^{n-1}\phi(x)dx$. E questo ultimo passaggio mi sfugge, nonostante io abbia provato vari cambi di variabile, anche riconducendomi al caso più semplice n=2. Qualcuno mi può aiutare? Grazie

[Lo_zio_Tom]

"V123E":Quindi si imposta l'equazione $\int_{[0,\theta]^n} \frac{1}{\theta^n}\tau(x_{(n)})\phi(x_{(n)})=0$. Sulle dispense, poi si continua dicendo che questo integrale può essere riscritto come: $\int_0^\theta \frac{1}{\theta^n} nx^{n-1}\phi(x)dx$. E questo ultimo passaggio mi sfugge,

Sono due modi diversi di scrivere $E[phi(x)]$


Ciò premesso, la definizione di completezza della statistica $t(ul(x))$ per il parametro $theta$ è questa:

$E_(theta)[g(t(ul(x))]=0 rarr g(t)=0$ $AA theta in Theta$

anzi a dir la verità la definizione più corretta sarebbe $P{g(t)=0}=1$

Ora, ricordando che:

1) la definizione di media è $E[g(x)]=int_(-oo)^(+oo)g(x)f(x)dx$,

2) la densità del massimo nel modello uniforme del tuo esercizio è $(nt^(n-1))/theta^n$

Per ricavare tale densità è sufficiente osservare che la CDF del massimo, nel caso di campione casuale, è il prodotto delle CDF ovvero nel tuo caso $F_(max)=x^n/theta^n$. A questo punto la densità la trovi subito derivando la CDF

nel tuo modello hai

$0=E(g(t))=int_(0)^(theta)g(t)(nt^(n-1))/theta^n dt=1/theta^nint_(0)^(theta)g(t)nt^(n-1)dt$

dove l'ultimo integrale deve essere zero dato che $1/theta^n !=0$

A questo punto ti basta derivare in $theta$ per ottenere


$-ntheta^(-n-1)int_(0)^(theta)g(t)nt^(n-1)dt+1/theta^n g(theta)ntheta^(n-1)=ng(theta)/theta$

che ovviamente è zero se e solo se $g=0$

e quindi hai dimostrato ciò che ti serve


ciao

[V123E]

Sei stato veramente chiarissimo. La parte che mi sfuggiva era quella di ricavare la ripartizione del massimo e derivare. Grazie grazie davvero!