Insiemi e chiarimento
Buongiorno ho due semplici esercizi da mostrarvi
1) Siano $P(A)=1/4$ e $P(B)=1/2$ calcolare $P(A^cnnB|AuuB)$. (A e B) indipendenti
2)Sia $X$ una variabile aleatoria che segue una distribuzione del tipo $N(3,4)$.Che distribuzione segue $Y=3X-2$
Ho seguito due strade che però non sembra mi portino allo stesso risultato
Metodo 1
Standardizzo
$Z=(X-3)/2$ dove $Z$ è $N(0,1)$ ottengo che $X=2Z+3$
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(6Z+9-2<=y)=P(Z<=(Y-7)/6)$ che sarà $f(y)=f_z((y-7)/6)1/6= 1/(sqrt(2pi))e^-((y-7/6)^2/2)1/6$
Metodo 2
che altro non è lo stesso senza standardizzare
$P(Y
Ma non mi sembrano uguali.
L'esercizio 1 invece
$P(A^cnnB|AuuB)=(P((A^cnnB)nn(AuuB)))/(P(AuuB))$ Ora però non riesco a capire come aggiustarmi il numeratore
$P(A^cnnB)=P(B)-P(AnnB)$ ma non so dove pùò portarmi
Grazie mille
^^^^^^^^^
EDIT
Ho provato a toccare con mano il problema nell'esercizio 1
Insieme di partenza=${1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
$A={1,3,5,7,9}$ mentre $B={1,4,6,7,8}$
A è l insieme dei dispari quindi $A^c$ sarà quello dei pari quindi $(A^cnnB)={1,7}$
ora $AuuB={1,3,4,5,6,7,8,9}$ quindi
$(A^cnnB)nn(AuuB))={1,7}$ che altro non è $A^cnnB)$
quindi $P(A^cnnB|AuuB)=(P(A^cnnB))/(P(AuuB))=(P(A^c)P(B))/((P(A)+P(B)-P(A)P(B))$
Scusate il pippone ma ci tengo a farvi capire come ragiono cosi da correggere eventuali criticità
1) Siano $P(A)=1/4$ e $P(B)=1/2$ calcolare $P(A^cnnB|AuuB)$. (A e B) indipendenti
2)Sia $X$ una variabile aleatoria che segue una distribuzione del tipo $N(3,4)$.Che distribuzione segue $Y=3X-2$
Ho seguito due strade che però non sembra mi portino allo stesso risultato
Metodo 1
Standardizzo
$Z=(X-3)/2$ dove $Z$ è $N(0,1)$ ottengo che $X=2Z+3$
$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(6Z+9-2<=y)=P(Z<=(Y-7)/6)$ che sarà $f(y)=f_z((y-7)/6)1/6= 1/(sqrt(2pi))e^-((y-7/6)^2/2)1/6$
Metodo 2
che altro non è lo stesso senza standardizzare
$P(Y
Ma non mi sembrano uguali.
L'esercizio 1 invece
$P(A^cnnB|AuuB)=(P((A^cnnB)nn(AuuB)))/(P(AuuB))$ Ora però non riesco a capire come aggiustarmi il numeratore
$P(A^cnnB)=P(B)-P(AnnB)$ ma non so dove pùò portarmi
Grazie mille
^^^^^^^^^
EDIT
Ho provato a toccare con mano il problema nell'esercizio 1
Insieme di partenza=${1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
$A={1,3,5,7,9}$ mentre $B={1,4,6,7,8}$
A è l insieme dei dispari quindi $A^c$ sarà quello dei pari quindi $(A^cnnB)={1,7}$
ora $AuuB={1,3,4,5,6,7,8,9}$ quindi
$(A^cnnB)nn(AuuB))={1,7}$ che altro non è $A^cnnB)$
quindi $P(A^cnnB|AuuB)=(P(A^cnnB))/(P(AuuB))=(P(A^c)P(B))/((P(A)+P(B)-P(A)P(B))$
Scusate il pippone ma ci tengo a farvi capire come ragiono cosi da correggere eventuali criticità
Risposte
Grazie
"shadow88":
devo capire come trovare le formule equivalenti.
Non pare essenziale fare tutto insieme come sembri voler fare.
"shadow88":
Buongiorno ho due semplici esercizi da mostrarvi
1) Siano $P(A)=1/4$ e $P(B)=1/2$ calcolare $P(A^cnnB|AuuB)$. (A e B) indipendenti
Ti complichi la vita inutilmente.
$P(A^c\cap B)=P(A^c)*P(B)=3/8$
$P(AuuB)=1-P(A^c\cap B^c)=1-3/4 * 1/2=5/8$.
$P(A^cnnB|AuuB)=3/5$.
Grazie mille 
"ghira":
$P(A^c\cap B)=P(A^c)*P(B)=3/8$
Il complementare di A contiene tutti gli altri eventi incluso B.
Pertanto se lo intersechi con B, resta appunto B.
$P(A^c\cap B)=P[(Buubar(AuuB))nnB]=P(B)=1/2$
"Bokonon":
[quote="ghira"]
$P(A^c\cap B)=P(A^c)*P(B)=3/8$
Il complementare di A contiene tutti gli altri eventi incluso B.
Pertanto se lo intersechi con B, resta appunto B.
$P(A^c\cap B)=P[(Buubar(AuuB))nnB]=P(B)=1/2$[/quote]
Ma $A$ e $B$ sono indipendenti. Questo non lo sapevamo inizialmente ma adesso sì.
Facciamo lo spazio $1,2,3,4,5,6,7,8$. $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3,5,7\}$. $A$ e $B$ sono indipendenti.
$A^c=\{3,4,5,6,7,8\}$. $A^c\cap B=\{3,5,7\}\ne B$;
"ghira":
Facciamo lo spazio $1,2,3,4,5,6,7,8$. $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3,5,7\}$. $A$ e $B$ sono indipendenti.
Come fanno ad essere indipendenti se contengono un elemento comune? $AnnB={1}$
Torniamo alle basi. In questo esempio, ci sono 8 eventi elementari a cui si associa una misura di probabilità.
L'insieme delle parti (la $sigma$-algebra di Borel) è composta da $2^8$ insiemi (incluso quello vuoto) a cui si associano le probabilità sommando le probabilità degli eventi elementari che contengono. Posso scegliere due eventi complessi qualsiasi A e B (composizioni degli eventi elementari) dalla $sigma$-algebra ma saranno indipendenti (per definizione) sse $P(AnnB)=P(A)P(B)$. Questo è vero sse i due eventi $AnnB={0}$, ovvero se sono disgiunti.
Kolmogorov sta piangendo ora
Colpa tua ghira!
"Bokonon":
[quote="ghira"]
Facciamo lo spazio $1,2,3,4,5,6,7,8$. $A=\{1,2\}$, $B=\{1,3,5,7\}$. $A$ e $B$ sono indipendenti.
Come fanno ad essere indipendenti se contengono un elemento comune? $AnnB={1}$[/quote]
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Se non avessero elementi in comune sarebbero incompatibili. $P(A\cap B)$ sarebbe 0. $A$ e $B$ non sarebbero indipendenti: $P(A|B)$ sarebbe 0, non $1/4$, per esempio.
@ghira
stavo correggendo il copia e incolla, ma il succo resta uguale.
Possiamo partire dagli eventi elementari. Assegna ad ognuno di essi una probabilità e assicurati che $sum_(i=1)^8 P(i)=1$
Siamo all'ABC del calcolo delle probabilità
stavo correggendo il copia e incolla, ma il succo resta uguale.
Possiamo partire dagli eventi elementari. Assegna ad ognuno di essi una probabilità e assicurati che $sum_(i=1)^8 P(i)=1$
Siamo all'ABC del calcolo delle probabilità
Bokonon, come chiami due eventi $A$ e $B$ tali che $P(A\cap B)=P(A)P(B)$? Questi li chiamo indipendenti.
Come chiami due eventi tali che $A\cap B=\emptyset$? Questi li chiamo incompatibili.
Mi rendo conto che Wikipedia non è esattamente autorevole ma
https://it.wikipedia.org/wiki/Indipendenza_stocastica
https://it.wikipedia.org/wiki/Evento_(teoria_della_probabilit%C3%A0)
Come chiami due eventi tali che $A\cap B=\emptyset$? Questi li chiamo incompatibili.
Mi rendo conto che Wikipedia non è esattamente autorevole ma
https://it.wikipedia.org/wiki/Indipendenza_stocastica
https://it.wikipedia.org/wiki/Evento_(teoria_della_probabilit%C3%A0)
"Bokonon":
@ghira
stavo correggendo il copia e incolla, ma il succo resta uguale.
Possiamo partire dagli eventi elementari. Assegna ad ognuno di essi una probabilità e assicurati che $sum_(i=1)^8 P(i)=1$
Siamo all'ABC del calcolo delle probabilità
$1/8$ per tutti in questo caso. Sono d'accordo che siamo all'ABC. Sono... terriblmente sconcertato da quello che stai dicendo.
"Bokonon":
Posso scegliere due eventi complessi qualsiasi A e B (composizioni degli eventi elementari) dalla $sigma$-algebra ma saranno indipendenti (per definizione) sse $P(AnnB)=P(A)P(B)$. Questo è vero sse i due eventi $AnnB={0}$, ovvero se sono disgiunti.
Due eventi sono indipendenti solo se $P(AnnB)=P(A)P(B)=0$? Ti rendi conto che stai dicendo qualcosa di molto strano?
$P(A)=1/4$ e $P(B)=1/2$ in questo caso. Quindi.. $1/8=0$?
Sono sconcertato anch'io, mi sono bevuto il cervello.
Grazie per avermi fatto rinsavire Ghira!
P.S. non so perchè, oggi ho deciso che i due eventi fossero mutualmente esclusivi perchè non potessero avvenire nel medesimo tempo (un dado non può fare 1 e 2 nel medesimo lancio). In realtà i due eventi possono essere completamente diversi e avvenire in tempi diversi. Pazzesco, mi era davvero persuaso di ciò.
Grazie per avermi fatto rinsavire Ghira!
P.S. non so perchè, oggi ho deciso che i due eventi fossero mutualmente esclusivi perchè non potessero avvenire nel medesimo tempo (un dado non può fare 1 e 2 nel medesimo lancio). In realtà i due eventi possono essere completamente diversi e avvenire in tempi diversi. Pazzesco, mi era davvero persuaso di ciò.
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