Informazione di Fisher di n v.a. indipendenti esponenziali

[absinth]

Ciao a tutti! Vi chiedo cortesemente di aiutarmi con il mio dubbio. Non riesco a capire in questo testo come calcola l'ultimo passaggio per l'informazione di Fisher:

Consegna:
[img]https://i.imgur.com/RZBL1Gv.png?1[/img]

(Parte della soluzione, calcolo di inf. di Fisher):
[img]https://i.imgur.com/4zVdTeO.png?2[/img]

Non riesco a capire come viene fuori l'ultimo conto cioè perché quella sommatoria dà alla fine $n/{\theta^2}$ ?

[Lo_zio_Tom]

A parte il fatto che, fra tutti i modi possibili di calcolare l'informazione di Fisher, il tuo libro ha scelto sicuramente il peggiore:

E' abbastanza evidente che, essendo il campionamento casuale, ogni elemento ha la medesima informazione e quindi l'informazione della n-upla è n volte l'informazione di un singolo elemento. Di conseguenza, l'informazione di Fisher può essere così calcolata:

1) $nE{partial/(partial theta)log f}^2$

$log f= log (1/theta)-y/theta$

$partial/(partial theta)log f=y/theta^2-1/theta=1/theta^2(y-theta)$

$nE{partial/(partial theta)log f}^2=n/theta^4E{y-theta}^2=n/theta^4V(y)=n/theta^2$

Ma, per note proprietà di regolarità del modello esponenziale, anche così

2)

$-nE{partial^2/(partial theta^2)log f}$

$partial^2/(partial theta^2) log f=-2y/theta^3+1/theta^2$

$-nE{...}=(2ntheta)/theta^3-n/theta^2=n/theta^2$

Per il passaggio che non capisci invece basta osservare che:

$E{[Sigma_i(theta-y_i)]^2}=E{(ntheta-Sigma_(i)y_i)^2}=$

$=E{n^2theta^2-2nthetaSigma_iy_i+(Sigma_iy_i)^2}=$

$=n^2theta^2-2nthetantheta+ntheta^2+n^2theta^2=ntheta^2$

Quindi, in definitiva, ottieni $1/theta^4 ntheta^2=n/theta^2$ come deve essere.


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Ora invece veniamo a ciò che mi interessa di più: @absinth, non sei un neoiscritto, perché non rispetti il regolamento?

Come dovresti sapere, una volta scaduta l'immagine , il thread rimane orfano e quindi incomprensibile ed inutile.

Per stavolta ok... ma la prossima volta ti chiudo la discussione , sei avvisato

[absinth]

Ciao, chiedo scusa per stavolta ma avevo veramente poco tempo grazie mille per la risposta.