Indipendenza e indipendenza condizionata
Stavo studiando qualche esempio sulle differenze tra indipendenza e indipendenza condizionata. Intanto queste sono le definizioni:
Definizione. Due eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti se vale l'uguaglianza $P(A\cap B)=P(A)\ P(B)$.
Definizione. Due eventi $A_1$ e $A_2$ si dicono condizionatamente indipendenti dato l'evento $A$ se $P(A)!= 0$ e risulta $P(A_2|A_1\cap A)=P(A_2|A)$ (o equivalentemente $P(A_1\cap A_2|A)=P(A_1|A)P(A_2|A)$).
Le due definizioni non dovrebbero essere una conseguenza dell'altra, cioè
$A_1$ e $A_2$ indipendenti non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$
$A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$ non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti
Per la prima ho trovato questo esempio:
consideriamo l'esperimento di due lanci consecutivi di una moneta non truccata: abbiamo $\Omega=\{$TT,TC,CT,CC$\}$, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $P$ la distribuzione uniforme di probabilità su $\Omega$. Con $A_1=\{$TT,TC$\}$, $A_2=\{$TT,CT$\}$ e $A=\{$TC,CT$\}$, si verifica (se non ho sbagliato!) che $A_1$ e $A_2$ sono indipendenti ma non condizionatamente indipendenti dato $A$.
Per la seconda, ho trovato alcuni esempi con diversi esperimenti, ma non ho trovato nulla partendo dallo stesso esperimento... Qualcuno riesce a trovare tre eventi adatti in questo esperimento?
Definizione. Due eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti se vale l'uguaglianza $P(A\cap B)=P(A)\ P(B)$.
Definizione. Due eventi $A_1$ e $A_2$ si dicono condizionatamente indipendenti dato l'evento $A$ se $P(A)!= 0$ e risulta $P(A_2|A_1\cap A)=P(A_2|A)$ (o equivalentemente $P(A_1\cap A_2|A)=P(A_1|A)P(A_2|A)$).
Le due definizioni non dovrebbero essere una conseguenza dell'altra, cioè
$A_1$ e $A_2$ indipendenti non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$
$A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$ non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti
Per la prima ho trovato questo esempio:
consideriamo l'esperimento di due lanci consecutivi di una moneta non truccata: abbiamo $\Omega=\{$TT,TC,CT,CC$\}$, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $P$ la distribuzione uniforme di probabilità su $\Omega$. Con $A_1=\{$TT,TC$\}$, $A_2=\{$TT,CT$\}$ e $A=\{$TC,CT$\}$, si verifica (se non ho sbagliato!) che $A_1$ e $A_2$ sono indipendenti ma non condizionatamente indipendenti dato $A$.
Per la seconda, ho trovato alcuni esempi con diversi esperimenti, ma non ho trovato nulla partendo dallo stesso esperimento... Qualcuno riesce a trovare tre eventi adatti in questo esperimento?
Risposte
"niandra82":
Torno a ripetere che condizionare il valore di un evento {TT} rispetto al fatto che quell'evento si sia verificato e sia {CC} è assurdo e non è una probabilità. Una probabilità condizionata nel tuo caso è considerare la probabilità dell'evento {TT} al secondo turno dei due lanci quando al primo turno è uscito {CC}...quindi lanci due volte la moneta vedi che è CC e vuoi sapere la probabilità che nei successivi lanci sarà TT
Ma questo è un altro esperimento.
Credo alla fine di avere capito cosa intendi dire: al di fuori del punto di vista assiomatico, nel mio esempio non è possibile definire una probabilità condizionata come quella che ho scritto io, giusto?
Beh, un sentito ringraziamento a Kolmogorov, allora
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