Indipendenza e indipendenza condizionata
Stavo studiando qualche esempio sulle differenze tra indipendenza e indipendenza condizionata. Intanto queste sono le definizioni:
Definizione. Due eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti se vale l'uguaglianza $P(A\cap B)=P(A)\ P(B)$.
Definizione. Due eventi $A_1$ e $A_2$ si dicono condizionatamente indipendenti dato l'evento $A$ se $P(A)!= 0$ e risulta $P(A_2|A_1\cap A)=P(A_2|A)$ (o equivalentemente $P(A_1\cap A_2|A)=P(A_1|A)P(A_2|A)$).
Le due definizioni non dovrebbero essere una conseguenza dell'altra, cioè
$A_1$ e $A_2$ indipendenti non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$
$A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$ non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti
Per la prima ho trovato questo esempio:
consideriamo l'esperimento di due lanci consecutivi di una moneta non truccata: abbiamo $\Omega=\{$TT,TC,CT,CC$\}$, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $P$ la distribuzione uniforme di probabilità su $\Omega$. Con $A_1=\{$TT,TC$\}$, $A_2=\{$TT,CT$\}$ e $A=\{$TC,CT$\}$, si verifica (se non ho sbagliato!) che $A_1$ e $A_2$ sono indipendenti ma non condizionatamente indipendenti dato $A$.
Per la seconda, ho trovato alcuni esempi con diversi esperimenti, ma non ho trovato nulla partendo dallo stesso esperimento... Qualcuno riesce a trovare tre eventi adatti in questo esperimento?
Definizione. Due eventi $A$ e $B$ si dicono indipendenti se vale l'uguaglianza $P(A\cap B)=P(A)\ P(B)$.
Definizione. Due eventi $A_1$ e $A_2$ si dicono condizionatamente indipendenti dato l'evento $A$ se $P(A)!= 0$ e risulta $P(A_2|A_1\cap A)=P(A_2|A)$ (o equivalentemente $P(A_1\cap A_2|A)=P(A_1|A)P(A_2|A)$).
Le due definizioni non dovrebbero essere una conseguenza dell'altra, cioè
$A_1$ e $A_2$ indipendenti non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$
$A_1$ e $A_2$ indipendenti dato $A$ non implica $A_1$ e $A_2$ indipendenti
Per la prima ho trovato questo esempio:
consideriamo l'esperimento di due lanci consecutivi di una moneta non truccata: abbiamo $\Omega=\{$TT,TC,CT,CC$\}$, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ e $P$ la distribuzione uniforme di probabilità su $\Omega$. Con $A_1=\{$TT,TC$\}$, $A_2=\{$TT,CT$\}$ e $A=\{$TC,CT$\}$, si verifica (se non ho sbagliato!) che $A_1$ e $A_2$ sono indipendenti ma non condizionatamente indipendenti dato $A$.
Per la seconda, ho trovato alcuni esempi con diversi esperimenti, ma non ho trovato nulla partendo dallo stesso esperimento... Qualcuno riesce a trovare tre eventi adatti in questo esperimento?
Risposte
Stupido stupido: se prendi A un sovrainsieme degli altri due le probabilità condizionate valgono tutte 1.
EDIT: ho detto una bojata!
Se però rigiri prendendo un insieme A disgiunto con gli altri allora valgono 0.
EDIT: ho detto una bojata!
Se però rigiri prendendo un insieme A disgiunto con gli altri allora valgono 0.
"DajeForte":
Se però rigiri prendendo un insieme A disgiunto con gli altri allora valgono 0.
Maccerto! Grazie! Prendo tre eventi disgiunti tra loro, tipo $A_1=\{$TT$\}$, $A_2=\{$CC$\}$ e $A=\{$TC$\}$, e l'espressione dell'indipendenza condizionata (la seconda!) mi da $0=0$ (quindi indipendenza dato $A$), mentre chiaramente gli $A_i$ non possono essere indipendenti.
Però noto ora che quindi le due espressioni che definiscono l'indipendenza condizionata non sono proprio equivalenti: per usare la prima devo supporre anche $A_1\cap A$ non trascurabile... Va beh, mi sorge anche la questione dello $0\times 0$ a secondo membro...
Non è che si trovi qualcosa a cui si possa applicare la prima espressione? 
Ecco, se prendo $A=A_1$ dovrebbe tornare, anche se è un po' una forzatura
Mi pare chiaro che l'indipendenza condizionata non commuta...
Vediamo un po' cosa succede con $A_2=\{$TT$\}$, $A_1=\{$CC,TT$\}$ e $A=\{$CC$\}$...
$P(A_1\cap A_2)=1/4$ mentre $P(A_1)P(A_2)=1/8$ (non sono indipendenti)
$P(A_2|A_1\cap A)=0$ e $P(A_2|A)=0$ (sono indipendenti dato $A$)
OK?
$P(A_1\cap A_2)=1/4$ mentre $P(A_1)P(A_2)=1/8$ (non sono indipendenti)
$P(A_2|A_1\cap A)=0$ e $P(A_2|A)=0$ (sono indipendenti dato $A$)
OK?
"retrocomputer":
OK?
Mi pare fili tutto, anche se questo concetto di indipendenza condizionata lo ho visto veramente poche volte.
"DajeForte":
Mi pare fili tutto, anche se questo concetto di indipendenza condizionata lo ho visto veramente poche volte.
Anch'io. Alla fine è forse importante per sottolineare il fatto che l'indipendenza dipende dalla misura di probabilità, ma la definizione è sempre la stessa: prendo come misura $Q=P(\cdot|H)$, con $P(H)!=0$ e la definizione di indipendenza condizionata è $Q(A\cap B)=Q(A)\ Q(B)\ $ $\forall\ A,B$.
presupposto: ho avuto una giornataccia, sono particolarmente stanco e quindi non sono scuro di aver capito bene il post però vorrei fare qualche osservazione.
Quando si parla di probabiltà condizionata e indipendenza si intende, a livello logico, non matematico, la probabilità di un evento sapendo che se ne è verificato un altro.
riprendo parte della conversazione:
Gli $A_i$ sono indipendenti, conoscendo il valore di un gruppo di due lanci, niente puoi dire sulla probabilità che nel successivo lancio si verifichi un particolare pattern.
non capisco cosa vogliate dire, gli eventi A2 e A sono compatibili (una cppia di valori), A1 è un esperimento diverso (due coppie di valori)e e ha tutto un altro supporto.
Mi pare fili tutto, anche se questo concetto di indipendenza condizionata lo ho visto veramente poche volte.[/quote]
In realtà non è vero, l'indipendenza condizionata è molto importante in statistica (soprattutto statistica ambientale/spaziale), un esempio molto semplice per far capire il concetto di indipendenza condizionato è il seguente (un lavoro che sto facendo in questo periodo):
Se studiamo la quantità di pesci nel tirreno, ci accorgiamo che se in un punto troviamo molti pesci, spostandoci di poco, ne troveremo sempre molti....ciò significa che osservando un punto, possiamo dire con buona probabilità quale sia il valore nel punto vicino, quindi sono dipendenti (spazialmente)....se analizziamo meglio il problema ci accorgiamo che il quantitativo dei pesci è funzione della profondità del fondale, e nello specifico i pesci si trovano a 200 metri di profondità, dato che la profondità si modifica lentamente nello spazio è normale che punti vicino abbiamo profondità simili e quindi quantitativi di pesci simili.
Ciò significa che la dipendenza non è tra i pesci, ma tra i pesci e le profondità, quindi condizionatamente alla profondità, la quantità di pesce è spazialmente indipendente.
Per riassumere presi due siti, i loro valori di quantità di pesce sono dipendenti, se condizioniamo alla profondità sono indipendenti.
però vorrei fare qualche osservazione.Quando si parla di probabiltà condizionata e indipendenza si intende, a livello logico, non matematico, la probabilità di un evento sapendo che se ne è verificato un altro.
riprendo parte della conversazione:
Maccerto! Grazie! Prendo tre eventi disgiunti tra loro, tipo A1={TT}, A2={CC} e A={TC}, e l'espressione dell'indipendenza condizionata (la seconda!) mi da 0=0 (quindi indipendenza dato A), mentre chiaramente gli Ai non possono essere indipendenti.
quando scrivete
Gli $A_i$ sono indipendenti, conoscendo il valore di un gruppo di due lanci, niente puoi dire sulla probabilità che nel successivo lancio si verifichi un particolare pattern.
Vediamo un po' cosa succede con A2={TT}, A1={CC,TT} e A={CC}...
P(A1∩A2)=1/4 mentre P(A1)P(A2)=1/8 (non sono indipendenti)
P(A2∣A1∩A)=0 e P(A2∣A)=0 (sono indipendenti dato A)
OK?
non capisco cosa vogliate dire, gli eventi A2 e A sono compatibili (una cppia di valori), A1 è un esperimento diverso (due coppie di valori)e e ha tutto un altro supporto.
"DajeForte":
[quote="retrocomputer"]OK?
Mi pare fili tutto, anche se questo concetto di indipendenza condizionata lo ho visto veramente poche volte.[/quote]
In realtà non è vero, l'indipendenza condizionata è molto importante in statistica (soprattutto statistica ambientale/spaziale), un esempio molto semplice per far capire il concetto di indipendenza condizionato è il seguente (un lavoro che sto facendo in questo periodo):
Se studiamo la quantità di pesci nel tirreno, ci accorgiamo che se in un punto troviamo molti pesci, spostandoci di poco, ne troveremo sempre molti....ciò significa che osservando un punto, possiamo dire con buona probabilità quale sia il valore nel punto vicino, quindi sono dipendenti (spazialmente)....se analizziamo meglio il problema ci accorgiamo che il quantitativo dei pesci è funzione della profondità del fondale, e nello specifico i pesci si trovano a 200 metri di profondità, dato che la profondità si modifica lentamente nello spazio è normale che punti vicino abbiamo profondità simili e quindi quantitativi di pesci simili.
Ciò significa che la dipendenza non è tra i pesci, ma tra i pesci e le profondità, quindi condizionatamente alla profondità, la quantità di pesce è spazialmente indipendente.
Per riassumere presi due siti, i loro valori di quantità di pesce sono dipendenti, se condizioniamo alla profondità sono indipendenti.
Prendo tre eventi disgiunti tra loro, tipo A1={TT}, A2={CC} e A={TC}, e l'espressione dell'indipendenza condizionata (la seconda!) mi da 0=0 (quindi indipendenza dato A), mentre chiaramente gli Ai non possono essere indipendenti.
"niandra82":
Gli $A_i$ sono indipendenti, conoscendo il valore di un gruppo di due lanci, niente puoi dire sulla probabilità che nel successivo lancio si verifichi un particolare pattern.
Aspetta, il successivo, cioè un eventuale terzo lancio, non c'è, il gioco è solo su due lanci e lo spazio $\Omega$ è composto dalle coppie ordinate di due lanci. O forse non ho capito bene la tua frase...
In realtà non è vero, l'indipendenza condizionata è molto importante in statistica (soprattutto statistica ambientale/spaziale),
Sì sì, ha diverse applicazioni (per esempio le assicurazioni e i test diagnostici). Quello che volevo dire era che alla fine l'indipendenza condizionata può essere trattata (matematicamente parlando) come una indipendenza qualsiasi, solo che invece di essere secondo la probabilità $P$ è secondo la probabilità $P(\cdot |A)$. Insomma, la definizione è la stessa, cambia "solo" la misura di probabilità.
Aspetta, il successivo, cioè un eventuale terzo lancio, non c'è, il gioco è solo su due lanci e lo spazio Ω è composto dalle coppie ordinate di due lanci. O forse non ho capito bene la tua frase...
Avevo capito male io, comunque resta il fatto che conoscendo A1, non puoi dire nulla sulla probabilità di A2.
"niandra82":
Avevo capito male io, comunque resta il fatto che conoscendo A1, non puoi dire nulla sulla probabilità di A2.
Io direi che la probabilità di $A_2$, conoscendo $A_1$ è zero...
$P(A_2|A_1)=(P(A_2\cap A_1))/(P(A_1))=(P(\{C C\}\cap\{T T\}))/(P(\{T T\}))=(P(\emptyset))/(1/4)=0$
allora, un po' di chiarezza...se tu vuoi calcolare la probabilità che in due lanci si verifichi {TT} dato che si è verificato {CC} negli stessi due lanci, la tua formula è giusta, ma questa non indica dipendenza, ma bensì che gli eventi sono incompatibili, il verificarsi di un evento rende impossibili qualsiasi altro.
La probabilità condizionata ha una natura di tipo "temporale" (detto in maniera non precisissima), cioè, dato che al primo lancio si è verificato {TT}, nel prossimo lancio qual'è la probabilità che si verificherà {CC}?
La probabilità condizionata ha una natura di tipo "temporale" (detto in maniera non precisissima), cioè, dato che al primo lancio si è verificato {TT}, nel prossimo lancio qual'è la probabilità che si verificherà {CC}?
Non è corretto quello che dici. Riguardo alla prima parte del tuo ultimo thread, se due eventi sono incompatibili (e non sono entrambi di probabilità 0) allora essi sono dipendenti, proprio per quello che dicevi tu.
Nella seconda parte, la probabilità condizionata in questo caso (e in ghenerale) non ha una valenza temporale. Il condizionare all'evento {TT} sta proprio a dire che in quei due lanci dove vogglio calcolare la probabilità di {CC} si è verificato {TT}.
Nella seconda parte, la probabilità condizionata in questo caso (e in ghenerale) non ha una valenza temporale. Il condizionare all'evento {TT} sta proprio a dire che in quei due lanci dove vogglio calcolare la probabilità di {CC} si è verificato {TT}.
C'è qualcosa nel ragionamento che non mi torna, forse sto sbagliando ma non so....
Allora tu vuoi calcolare la probabilità che si verifichi {TT} quando si è già verificato {CC}. Dato che l'evento si è verificato, che senso ha calcolare la probabilità...come dire, qual'è la probabilità che un tuo figlio abbia gli occhi viola dato che ce l'ha azzurri, semplicemente impossibile...avere gli occhi di un colore, condizionatamente al colore che hanno, non è più una quantità aleatoria, ma un dato di fatto, non è dotata di probabilità
Allora tu vuoi calcolare la probabilità che si verifichi {TT} quando si è già verificato {CC}. Dato che l'evento si è verificato, che senso ha calcolare la probabilità...come dire, qual'è la probabilità che un tuo figlio abbia gli occhi viola dato che ce l'ha azzurri, semplicemente impossibile...avere gli occhi di un colore, condizionatamente al colore che hanno, non è più una quantità aleatoria, ma un dato di fatto, non è dotata di probabilità
"niandra82":
come dire, qual'è la probabilità che un tuo figlio abbia gli occhi viola dato che ce l'ha azzurri, semplicemente impossibile...avere gli occhi di un colore, condizionatamente al colore che hanno, non è più una quantità aleatoria, ma un dato di fatto, non è dotata di probabilità
E no è dotata di probabilità, ma come dici te è impossibile, e infatti la probabilità è 0.
Per risolvere questa divergenza di opinioni bisogna ricorrere alla definizione di probabilità:
L'evento di cui vogliamo determinare la probabilità è A1|A2= {TT}|{CC}. Lo spazio dei nostri possibili valori sono {TT}|{CC}, {TC}|{CC}, {CT}|{CC} e {CC}|{CC} considerando l'ordine.
Def. probabilità classica: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili. In ottica classica non esiste perchè i nostri eventi non sono equiprobabili, il quarto vale 1 e gli altri zero.
Def. frequentista: la probabilità di un evento è il limite cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti, assume che l'esperimento sia ripetibile più volte, idealmente infinite, sotto le stesse condizioni...dal punto di vista frequentista non so bene come trattare il nostro problema, però di fatto non è ripetibile, dato il suo valore, non c'è niente che possa essere ripetuto.
Def. soggettiva: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica. Le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa....se io punto sempre su {CC}|{CC} vinco sempre, quindi in quest'ottica la prob non esiste
bisogna ricorrere alla definizione di probabilità:L'evento di cui vogliamo determinare la probabilità è A1|A2= {TT}|{CC}. Lo spazio dei nostri possibili valori sono {TT}|{CC}, {TC}|{CC}, {CT}|{CC} e {CC}|{CC} considerando l'ordine.
Def. probabilità classica: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili. In ottica classica non esiste perchè i nostri eventi non sono equiprobabili, il quarto vale 1 e gli altri zero.
Def. frequentista: la probabilità di un evento è il limite cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti, assume che l'esperimento sia ripetibile più volte, idealmente infinite, sotto le stesse condizioni...dal punto di vista frequentista non so bene come trattare il nostro problema, però di fatto non è ripetibile, dato il suo valore, non c'è niente che possa essere ripetuto.
Def. soggettiva: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica. Le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa....se io punto sempre su {CC}|{CC} vinco sempre, quindi in quest'ottica la prob non esiste
Oppure
Def. matematica: La probabilità è una misura, sullo spazio misurabile $(Omega, mathcal{F})$, tale che $P(Omega)=1$.
In questo contesto Kolmogorov ha dato la definizione di probabilità di $Ain mathcal{F}$ condizionatamente ad un evento $B in mathcal{F}$ per cui $P(B)>0$, come $P(A|B)=(P(A cap B))/(P(B))$.
In questa maniera è possibile definire una nuova misura di probabilità $Q$, sempre sullo spazio $(Omega, mathcal{F})$, come $Q(cdot)=(P(cdot cap B))/(P(B))$.
Dunque la probabilità condizionata è una misura $Q$ assolutamente continua rispetto a $P$.
Ora cerco di farti un esempio da spigarti il mio punto di vista.
Considera il tuo esempio del colore degli ochhi dei figli. Supponiamo ci siano solo tre colori:
bianco,rosso, verde.
Se consideri $P("bianco"|"rosso")=0$ perchè quale è la probabilità che tuo figlio ha gli occhi bianchi dato che tuo figlio ha gli occhi rossi?
Oppure $P("rosso"|"rosso")=1$ perchè quale è la probabilità che tuo figlio ha gli occhi rossi dato che tuo figlio ha gli occhi rossi?
Il condizionamento in generale significa un aquisire informazioni, in questo caso siccome l'informazione che aquisiamo è esattamente il colore degli occhi allora quando andremo a calcoare la probabilità noi sapremo già che colore ha e quindi saremo sicuri sul concludere se il figlio abbia gli occhi di un colore o meno (tradotto ogni evento avrà probabiità 1 o 0).
Al contrario se conosciamo che non ha gli occhi verdi e dunque li ha bianchi o rossi, avremo sempre aquisito informazioni ma non saremo sicuri su quale di preciso.
In ultimo come dici te se conosciamo il colore è vero che non rimane niente puramente random, nel senso che saremo sicuri sul risultato, ma comunque potrai definire una probabilità dove $Q(A)=0,1$.
Def. matematica: La probabilità è una misura, sullo spazio misurabile $(Omega, mathcal{F})$, tale che $P(Omega)=1$.
In questo contesto Kolmogorov ha dato la definizione di probabilità di $Ain mathcal{F}$ condizionatamente ad un evento $B in mathcal{F}$ per cui $P(B)>0$, come $P(A|B)=(P(A cap B))/(P(B))$.
In questa maniera è possibile definire una nuova misura di probabilità $Q$, sempre sullo spazio $(Omega, mathcal{F})$, come $Q(cdot)=(P(cdot cap B))/(P(B))$.
Dunque la probabilità condizionata è una misura $Q$ assolutamente continua rispetto a $P$.
Ora cerco di farti un esempio da spigarti il mio punto di vista.
Considera il tuo esempio del colore degli ochhi dei figli. Supponiamo ci siano solo tre colori:
bianco,rosso, verde.
Se consideri $P("bianco"|"rosso")=0$ perchè quale è la probabilità che tuo figlio ha gli occhi bianchi dato che tuo figlio ha gli occhi rossi?
Oppure $P("rosso"|"rosso")=1$ perchè quale è la probabilità che tuo figlio ha gli occhi rossi dato che tuo figlio ha gli occhi rossi?
Il condizionamento in generale significa un aquisire informazioni, in questo caso siccome l'informazione che aquisiamo è esattamente il colore degli occhi allora quando andremo a calcoare la probabilità noi sapremo già che colore ha e quindi saremo sicuri sul concludere se il figlio abbia gli occhi di un colore o meno (tradotto ogni evento avrà probabiità 1 o 0).
Al contrario se conosciamo che non ha gli occhi verdi e dunque li ha bianchi o rossi, avremo sempre aquisito informazioni ma non saremo sicuri su quale di preciso.
In ultimo come dici te se conosciamo il colore è vero che non rimane niente puramente random, nel senso che saremo sicuri sul risultato, ma comunque potrai definire una probabilità dove $Q(A)=0,1$.
Allora possiamo chiudere la discussione così, in ambito assiomatico hai ragione tu, in ambito classico, frequentista e soggettivistico ho ragione io 
"niandra82":
L'evento di cui vogliamo determinare la probabilità è A1|A2= {TT}|{CC}. Lo spazio dei nostri possibili valori sono {TT}|{CC}, {TC}|{CC}, {CT}|{CC} e {CC}|{CC} considerando l'ordine.
Eh va beh, se mi cambi lo spazio di probabilità cambia tutto...
Io ero partito dallo spazio $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, con $\Omega=\{T T,T C, C T, C C\}$, $\mathcal{F}$ l'insieme delle parti di $\Omega$ e $P$ la probabilità uniforme. O si ragiona su questo o si propone un nuovo esempio, altrimenti si fa solo confusione, no?Insomma, in probabilità ha una certa importanza la scelta del modello
"retrocomputer":
[quote="niandra82"]
L'evento di cui vogliamo determinare la probabilità è A1|A2= {TT}|{CC}. Lo spazio dei nostri possibili valori sono {TT}|{CC}, {TC}|{CC}, {CT}|{CC} e {CC}|{CC} considerando l'ordine.
Eh va beh, se mi cambi lo spazio di probabilità cambia tutto...
Io ero partito dallo spazio $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, con $\Omega=\{T T,T C, C T, C C\}$, $\mathcal{F}$ l'insieme delle parti di $\Omega$ e $P$ la probabilità uniforme. O si ragiona su questo o si propone un nuovo esempio, altrimenti si fa solo confusione, no?Insomma, in probabilità ha una certa importanza la scelta del modello
[/quote]Ma se consideri le probabilità condizionate, queste generano un nuovo spazio di probabilità, che è quello che ho indicato.
"niandra82":
Ma se consideri le probabilità condizionate, queste generano un nuovo spazio di probabilità, che è quello che ho indicato.
Cambio la misura di probabilità. Tu come definiresti la probabilità condizionata, diciamo rispetto a CC, partendo dal mio modello?
Torno a ripetere che condizionare il valore di un evento {TT} rispetto al fatto che quell'evento si sia verificato e sia {CC} è assurdo e non è una probabilità. Una probabilità condizionata nel tuo caso è considerare la probabilità dell'evento {TT} al secondo turno dei due lanci quando al primo turno è uscito {CC}...quindi lanci due volte la moneta vedi che è CC e vuoi sapere la probabilità che nei successivi lanci sarà TT
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