Incertezza sulla media
Salve sto preparando l'esame di laboratorio 1 e non mi è chiara una cosa. Quando effettuo più misure di una quantità si può dimostrare che il valore più attendibile è la media aritmetica, ora dovrei attribuire una incertezza a questo valore. Siccome posso considerare la media a sua volta come una variabile aleatoria mi calcolo (mi stimo) la deviazione standard della funzione di distribuzione della media per avere l'incertezza associata. Ora la mia domanda è, perchè prendo la dev.standard dalla media e non la deviazione standard originaria (ricordo che fra la secondo e la prima c'è un fattore $ 1/sqrtn $ )? Grazie anticipatamente per la risposta
Risposte
Supponi di aver fatto $n$ misurazioni $X_i$ indipendenti di una quantità e che la variabilità di ognuna di esse sia uguale a $\sigma^2$
Come hai giustamente detto la media può essere vista come una variabile aleatoria.
$bar{X} = frac{sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$
Se tu vuoi studiare la variabilità di $bar{X}$ devi tenere conto che stai utilizzando $n$ osservazioni che migliorano sensibilmente la qualità della tua stima (più $n$ è "grande" più accurata sarà la tua stima).
Detto ciò se studi la varianza ( variabilità ) di $bar{X}$, ricordando alcune proprietà della varianza, arrivi a:
$sigma_{bar{X}}^2 = Var(bar{X}) = Var(frac{sum_{i=1}^{n} X_i}{n}) = sum_{i=1}^{n} Var(frac{X_i}{n}) = nVar(frac{X_i}{n}) = frac{n}{n^2}Var(X_i) = frac{sigma^2}{n}$
La deviazione standard è la radice della varianza e si arriva a:
$sigma_{bar{X}} = frac{sigma}{sqrt{n}$
Ed ecco che arrivi a quel fattore $frac{1}{sqrt{n}}$ che non ti tornava.
Spero di essere stato chiaro!
Ciao!
Come hai giustamente detto la media può essere vista come una variabile aleatoria.
$bar{X} = frac{sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$
Se tu vuoi studiare la variabilità di $bar{X}$ devi tenere conto che stai utilizzando $n$ osservazioni che migliorano sensibilmente la qualità della tua stima (più $n$ è "grande" più accurata sarà la tua stima).
Detto ciò se studi la varianza ( variabilità ) di $bar{X}$, ricordando alcune proprietà della varianza, arrivi a:
$sigma_{bar{X}}^2 = Var(bar{X}) = Var(frac{sum_{i=1}^{n} X_i}{n}) = sum_{i=1}^{n} Var(frac{X_i}{n}) = nVar(frac{X_i}{n}) = frac{n}{n^2}Var(X_i) = frac{sigma^2}{n}$
La deviazione standard è la radice della varianza e si arriva a:
$sigma_{bar{X}} = frac{sigma}{sqrt{n}$
Ed ecco che arrivi a quel fattore $frac{1}{sqrt{n}}$ che non ti tornava.
Spero di essere stato chiaro!
Ciao!
Grazie ma forse non sono stato ben chiaro, il discorso della radice di n al denominatore l'avevo capito, quello che non mi torna è perchè scegliamo come incertezza la dev.standard della distribuzione media e non la dev.standard della distribuzione iniziale.
Ah! Comunque la risposta te l'ho implicitamente data nel mio precedente messaggio.
Usando la media aritmetica per stimare il valore della tua quantità utilizzi $n$ osservazioni che riducono la variabilità della tua stima. Tu, infatti, stai utilizzando più informazione ( le $n$ osservazioni ) anziché utilizzare come tua stima solo una di esse. Ciò si traduce in un abbattimento della tua variabilità di un fattore $frac{1}{n}$.
Usando la media aritmetica per stimare il valore della tua quantità utilizzi $n$ osservazioni che riducono la variabilità della tua stima. Tu, infatti, stai utilizzando più informazione ( le $n$ osservazioni ) anziché utilizzare come tua stima solo una di esse. Ciò si traduce in un abbattimento della tua variabilità di un fattore $frac{1}{n}$.
Ah ok capito thanks.
"abbas90":dipende anche da quante misurazioni fai... se iteri il processo di misurazione di una grandezza fisica \(X \) per un numero totale di volte \(n=10\) è poco utile usare la deviazione standard della media, se fai ad esempio \(n\geq 30\) misurazioni di \(X\) allora è utile quella stima dell'errore! Tempo fa avevo avuto una medesima confusione in merito, però se provi a lotizzare le tue \(n \geq 30\) misurazioni di \(X\) in tre gruppi* (rispettando l'ordine cronologico dello svolgimento delle misurazioni) e per ciascuno ti calcoli la media e la classica deviazione standard, ti domando (anche perchè bisogna esprimere un set di (sets di) misurazioni nella forma classica \( \bar{X} \pm \sigma_X\)) quale diventa la stima migliore della grandezza fisica \(X\) sui tre gruppi?" e "quale diventa la stima migliore dell'errore aleatorio associato ad \(X\) sui tre gruppi?". Oltretutto il concetto della deviazione standard della media è diverso dal concetto della classica deviazione standard (almeno da un punto di vista sperimentale, trovi un'interessante trattazione con qualche esempio ed esercizi svolti nel Taylor), ecco perchè bisogna (almeno così ho imparato) specificare come si procede all'analisi dei dati e quindi anche quale deviazione standard si usa
Salve sto preparando l'esame di laboratorio 1 e non mi è chiara una cosa. Quando effettuo più misure di una quantità si può dimostrare che il valore più attendibile è la media aritmetica, ora dovrei attribuire una incertezza a questo valore. Siccome posso considerare la media a sua volta come una variabile aleatoria mi calcolo (mi stimo) la deviazione standard della funzione di distribuzione della media per avere l'incertezza associata. Ora la mia domanda è, perchè prendo la dev.standard dalla media e non la deviazione standard originaria (ricordo che fra la secondo e la prima c'è un fattore $ 1/sqrtn $ )? Grazie anticipatamente per la risposta
[size=50]*=cosa possibile perchè le condizino ambientali e strumentali sono le "stesse"[/size]
"garnak.olegovitc":dipende anche da quante misurazioni fai... se iteri il processo di misurazione di una grandezza fisica \(X \) per un numero totale di volte \(n=10\) è poco utile usare la deviazione standard della media, se fai ad esempio \(n\geq 30\) misurazioni di \(X\) allora è utile quella stima dell'errore! Tempo fa avevo avuto una medesima confusione in merito, però se provi a lotizzare le tue \(n \geq 30\) misurazioni di \(X\) in tre gruppi* (rispettando l'ordine cronologico dello svolgimento delle misurazioni) e per ciascuno ti calcoli la media e la classica deviazione standard, ti domando (anche perchè bisogna esprimere un set di (sets di) misurazioni nella forma classica \( \bar{X} \pm \sigma_X\)) quale diventa la stima migliore della grandezza fisica \(X\) sui tre gruppi?" e "quale diventa la stima migliore dell'errore aleatorio associato ad \(X\) sui tre gruppi?". Oltretutto il concetto della deviazione standard della media è diverso dal concetto della classica deviazione standard (almeno da un punto di vista sperimentale, trovi un'interessante trattazione con qualche esempio ed esercizi svolti nel Taylor), ecco perchè bisogna (almeno così ho imparato) specificare come si procede all'analisi dei dati e quindi anche quale deviazione standard si usa
[quote="abbas90"]Salve sto preparando l'esame di laboratorio 1 e non mi è chiara una cosa. Quando effettuo più misure di una quantità si può dimostrare che il valore più attendibile è la media aritmetica, ora dovrei attribuire una incertezza a questo valore. Siccome posso considerare la media a sua volta come una variabile aleatoria mi calcolo (mi stimo) la deviazione standard della funzione di distribuzione della media per avere l'incertezza associata. Ora la mia domanda è, perchè prendo la dev.standard dalla media e non la deviazione standard originaria (ricordo che fra la secondo e la prima c'è un fattore $ 1/sqrtn $ )? Grazie anticipatamente per la risposta
[size=50]*=cosa possibile perchè le condizino ambientali e strumentali sono le "stesse"[/size][/quote]
Ma se dividi il campione i.i.d. in tre gruppi di 10 fattori non ottieni grande rilevanza usando la legge dei grandi numeri o sbaglio? Cioè non c'è differenza tra quale gruppo scegli proprio per l'indipendenza dei campioni?
Mi sfugge qualcosa...
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