Il re non è figlio unico!

[Magma1]

Buona sera,

mi sono imbattuto nel seguente quesito:

Il re non è un figlio unico: ha una fratello oppure una sorella. Qual è la probabilità che si tratti di una sorella?

Allora, lo spazio delle soluzioni[nota]Ho escluso l'evento $(ff)$ in quanto il re è maschio [/nota] è

$S={(mm), (mf), (fm)}$

allora inizio con dire che

$P(E_i)=k$

inoltre, dato che gli eventi sono mutamente disgiunti $E_i nn E_j=0 AA i ne j$,

$P(S)=3k=1 rArr k=1/3$

Ora, l'evento $E_s$ che si tratti di una sorella, dovrebbe essere dato dall'unione

$E_s=E_2 uu E_3$

e quindi

$P(E_s)=P(E_2)+P(E_3)=2/3$

però, allo stesso modo, la probabilità dell'evento $E_f$ che il re abbia un fratello dovrebbe essere

$P(E_f)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)=1$

ma questo dovrebbe essere un sottoinsieme di $S$ e non può rappresentare la certezza piena!

Avverto che ci sia qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento ma non riesco a venirne a capo.

[kobeilprofeta]

Ha un fratello solo in $E_1$
Le m che vedi sono del re. Solo quando c'è mm c'è un fratello maschio

[Magma1]

Non ci credo! Grazie! Mi sentivo in un tunnel senza uscita.

Quindi il procedimento, salvo la probabilità che il re abbia un fratello, è giusto? Perché, controllando, ho notato che il libro dà come soluzione $1/3$

[kobeilprofeta]

Sì. È giusto. È ovviamente 1/3 maschio e 2/3 femmina.

[Magma1]

"kobeilprofeta": 2/3 femmina.

Perfetto, sarà un refuso di stampa. Ti ringrazio!

[Lo_zio_Tom]

@Magma: L'esercizio è giusto ma non sono convinto che tu abbia scritto lo spazio dei risultati con conoscenza di causa (se mi sbaglio chiedo venia )

Facciamo un esempio:

Pino non è figlio unico, ha un fratello oppure una sorella (ma non entrambi ). Qual è la probabilità che si tratti di un fratello (una sorella )?

Qui la probabilità è sempre $1/2$. Come ma se Pino è il Re la probabilità cambia e viene $1/3$ ; $2/3$?

Scusate l'intromissione ma dalla tua spiegazione questa differenza non riesco a vederla

[Magma1]

"tommik":@Magma: L'esercizio è giusto ma non sono convinto che tu abbia scritto lo spazio dei risultati con conoscenza di causa (se mi sbaglio chiedo venia )
[...] Scusate l'intromissione ma dalla tua spiegazione questa differenza non riesco a vederla

No no, hai fatto bene; lo spazio dei risultati è quello che mi dà più noie in alcuni esercizi.

"tommik":
Pino non è figlio unico, ha un fratello oppure una sorella (ma non entrambi ). Qual è la probabilità che si tratti di un fratello (una sorella )?

Qui la probabilità è sempre $ 1/2 $. Come ma se Pino è il Re la probabilità cambia e viene $ 1/3 $ ; $ 2/3 $?

Per caso Pino è il primogenito? In tal caso lo spazio degli esiti sarebbe: $S={(mm), (mf)}$; giusto?

[Lo_zio_Tom]

Esattamente!

Nel caso del tuo esercizio lo spazio dei risultati è il seguente



come vedi ci sono solo 3 casi (equiprobabili); infatti il caso Maschio - Re non è possibile, perché il Re è sempre il maschio primogenito.

Nel caso di Pino, invece, i casi possibili sono 4

(questa almeno è la mia opinione)

ciao

[Magma1]

"tommik":

Nel caso di Pino, invece, i casi possibili sono 4

Presumo sia un errore di battitura: intendi 2; vero?

[Lo_zio_Tom]

sì 2 perché non conta chi sia il primogenito. Ti ho scritto 4 per partizionarlo come il caso precedente.. Non è un errore, è solo una partizione diversa di $Omega$