Il problema dei compleanni - variante
Salve a todos! 
Credo conosciate tutti il famoso problema dei compleanni...
Beh, qui sotto vi proporrò una sua variante leggermente più complicata, insieme alla mia soluzione, della quale non sono totalmente convinto poichè le simulazioni al computer restituiscono risultati diversi. Ci sono anche inf.......................naaa meglio non lo dico, ve ne accorgerete da soli..
Per la prima volta nella storia scolastica italiana (o meglio, dell'umanità xP) il ministero dell'istruzione decide di organizzare una super-mega-festa riservata a tutti i maturandi dell'anno corrente, che si terrà a Roma il 12/12/2012 (forse un po' in ritardo?). Ovviamente sono invitati tutti, ma non si sa in quanti realmente parteciperanno: l'esponenziale aumento di giovani matematici, fisici e nerds (chi di loro andrebbe mai ad una festa?) registrato ultimamente e causato dal "morbo delle olimpiadi" preoccupa infatti il ministero, che, considerata l'enorme pericolosità del fenomeno, prevede di ritrovarsi con due sole persone alla festa: il ministro Profumo (che sicuramente profumerà solo di alcol) e la Gelmini, che (altrettanto sicuramente) aprofitterà del suo stato per obiettivi che rimarranno ignoti a noi poveri umani. Perciò, deciso a trovare una soluzione, l'intero governo Monti si riunisce in un'assemblea straordinaria. Anche qualche amico/banchiere di Monti si presenta all'incontro, ma vengon tutti congedati con un sodo: "noo, la spartizione dei beni pubblici italiani è la prossima settimana bro!". Ore e ore di lavoro, con scartoffie varie e penne alla mano, le teste che scoppiano... tutto ciò per arrivare ad una soluzione considerata da loro tutti geniale, ma che in realtà sarebbe venuta in mente anche ad un bambino (scemo) di 10 anni: alla festa ci sarà un gioco con una sorpresa, e un grande premio in palio. Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti sono disponibili 80.000 euro di borsa per studiare alla "Berkeley", liberando così il fortunato dalla maledizione delle università italiane. Considerare nel calcolo anche gli anni bisestili era troppo per il governo dei tecnici, che quindi vi hanno anche semplificato il problema. Ovviamente è stato escogitato anche un modo per perdere meno denaro possibile (la sorpresa): i fortunati estrattori saranno solo 30, auto-selezionatisi dopo un torneo di arti marziali miste in stato di ebrezza (nerd e matematici non hanno speranza), e tutti gli altri perdenti saranno costretti a pagare 85cent a testa; il motivo della segretezza di quest'informazione è prevedibile/ovvio/palese/logico/elementare: il vincitore non sarà sicuramente all'altezza di un'università come Berkeley, perciò verrà cacciato a calci nel sedere dal test d'ammissione e il ministero avrà tutto guadagnato. Ora tocca a te valutare la soluzione dei ministri: trova le probabilità di vittoria del gioco.
Credo conosciate tutti il famoso problema dei compleanni...
Beh, qui sotto vi proporrò una sua variante leggermente più complicata, insieme alla mia soluzione, della quale non sono totalmente convinto poichè le simulazioni al computer restituiscono risultati diversi. Ci sono anche inf.......................naaa meglio non lo dico, ve ne accorgerete da soli..
Per la prima volta nella storia scolastica italiana (o meglio, dell'umanità xP) il ministero dell'istruzione decide di organizzare una super-mega-festa riservata a tutti i maturandi dell'anno corrente, che si terrà a Roma il 12/12/2012 (forse un po' in ritardo?). Ovviamente sono invitati tutti, ma non si sa in quanti realmente parteciperanno: l'esponenziale aumento di giovani matematici, fisici e nerds (chi di loro andrebbe mai ad una festa?) registrato ultimamente e causato dal "morbo delle olimpiadi" preoccupa infatti il ministero, che, considerata l'enorme pericolosità del fenomeno, prevede di ritrovarsi con due sole persone alla festa: il ministro Profumo (che sicuramente profumerà solo di alcol) e la Gelmini, che (altrettanto sicuramente) aprofitterà del suo stato per obiettivi che rimarranno ignoti a noi poveri umani. Perciò, deciso a trovare una soluzione, l'intero governo Monti si riunisce in un'assemblea straordinaria. Anche qualche amico/banchiere di Monti si presenta all'incontro, ma vengon tutti congedati con un sodo: "noo, la spartizione dei beni pubblici italiani è la prossima settimana bro!". Ore e ore di lavoro, con scartoffie varie e penne alla mano, le teste che scoppiano... tutto ciò per arrivare ad una soluzione considerata da loro tutti geniale, ma che in realtà sarebbe venuta in mente anche ad un bambino (scemo) di 10 anni: alla festa ci sarà un gioco con una sorpresa, e un grande premio in palio. Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti sono disponibili 80.000 euro di borsa per studiare alla "Berkeley", liberando così il fortunato dalla maledizione delle università italiane. Considerare nel calcolo anche gli anni bisestili era troppo per il governo dei tecnici, che quindi vi hanno anche semplificato il problema. Ovviamente è stato escogitato anche un modo per perdere meno denaro possibile (la sorpresa): i fortunati estrattori saranno solo 30, auto-selezionatisi dopo un torneo di arti marziali miste in stato di ebrezza (nerd e matematici non hanno speranza), e tutti gli altri perdenti saranno costretti a pagare 85cent a testa; il motivo della segretezza di quest'informazione è prevedibile/ovvio/palese/logico/elementare: il vincitore non sarà sicuramente all'altezza di un'università come Berkeley, perciò verrà cacciato a calci nel sedere dal test d'ammissione e il ministero avrà tutto guadagnato. Ora tocca a te valutare la soluzione dei ministri: trova le probabilità di vittoria del gioco.
Risposte
PS: La storiella è messa sù per non cadere nella solita, razionale e noiosa meccanicità del formalismo. Nonostante ciò, arrivare al nocciolo del problema non è difficile. La mia soluzione la posto dopo, vorrei vedere prima qualche parere 
Se ci sono n partecipanti
\(\displaystyle E(vincitori)=n\left(\frac{364}{365}\right)^{n} \)
\(\displaystyle E(profitto \,Monti)=min \left( n \left(\frac{364}{365}\right)^{n} , 30\right) \cdot 80000-0.85 \cdot \left(n-min \left( n \left(\frac{364}{365}\right)^{n} , 30\right)\right)\)
\(\displaystyle E(vincitori)=n\left(\frac{364}{365}\right)^{n} \)
\(\displaystyle E(profitto \,Monti)=min \left( n \left(\frac{364}{365}\right)^{n} , 30\right) \cdot 80000-0.85 \cdot \left(n-min \left( n \left(\frac{364}{365}\right)^{n} , 30\right)\right)\)
ehm .. eheheh ..
La domanda finale è chiara.
"Anonimia":
Ci sono anche inf.......................naaa meglio non lo dico, ve ne accorgerete da soli..
La domanda finale è chiara.
\(\displaystyle \left(\frac{364}{365}\right)^{30} \) ???
ahahah!
È Incredibile e interessante vedere come le menti matematiche, abituate a ragionamenti prettamente astratti e mai al di fuori del generalismo, trovino delle così grandi difficoltà nel filtrare delle informazioni da un così semplice testo (o forse si rifiutano proprio, per paura di uscire dalla loro scatola di astrattismi senza più riuscire a tornare) che narra una verosimile vicenda umana, volutamente intrisa di informazioni superficiali per valutare determinate "skill" del solutore
Beh, lo studio della psicologia umana è un campo davvero interessante
È Incredibile e interessante vedere come le menti matematiche, abituate a ragionamenti prettamente astratti e mai al di fuori del generalismo, trovino delle così grandi difficoltà nel filtrare delle informazioni da un così semplice testo (o forse si rifiutano proprio, per paura di uscire dalla loro scatola di astrattismi senza più riuscire a tornare) che narra una verosimile vicenda umana, volutamente intrisa di informazioni superficiali per valutare determinate "skill" del solutore
Beh, lo studio della psicologia umana è un campo davvero interessante
"Anonimia":
È Incredibile e interessante vedere come le menti matematiche, abituate a ragionamenti prettamente astratti e mai al di fuori del generalismo, trovino delle così grandi difficoltà nel filtrare delle informazioni da un così semplice testo (o forse si rifiutano proprio, per paura di uscire dalla loro scatola di astrattismi senza più riuscire a tornare) che narra una verosimile vicenda umana, volutamente intrisa di informazioni superficiali per valutare determinate "skill" del solutore
Beh, lo studio della psicologia umana è un campo davvero interessante
what?
"Anonimia":
ahahah!
È Incredibile e interessante vedere come le menti matematiche, abituate a ragionamenti prettamente astratti e mai al di fuori del generalismo, trovino delle così grandi difficoltà nel filtrare delle informazioni da un così semplice testo (o forse si rifiutano proprio, per paura di uscire dalla loro scatola di astrattismi senza più riuscire a tornare) che narra una verosimile vicenda umana, volutamente intrisa di informazioni superficiali per valutare determinate "skill" del solutore
Beh, lo studio della psicologia umana è un campo davvero interessante
Hai ragione, io avevo un problemà per capire la domanda.
Ma italiano non è la mia lingua madre, dunque non sono una referenza per le menti matematiche in generale
Io sono un'italiana mediamente istruita, ma non ho capito dove si voglia andare a parare.
"wnvl":
Hai ragione, io avevo un problema per capire la domanda.
Ma italiano non è la mia lingua madre, dunque non sono una referenza per le menti matematiche in generale
Okk allora sei più che giustificato! XD
@altri: Nulla, è solo un problema che contiene anche dei dati superflui.
@gio73: "non capisco dove si voglia andare a parare" vuol dire che non capisci cosa chiede il problema?
trova le probabilità di vittoria del gioco
@Anonimia Quale è la rsposta giusta?
/OT
ahahah!
È Incredibile e interessante vedere come le menti autoreferenziali, abituate a ragionamenti a spanne e sempre credendo che le informazioni non contino, trovino delle così grandi difficoltà nel capire così semplici domande (o forse si rifiutano proprio, per timore di uscire dalla loro scatola di autoreferenzialità senza più riuscire a tornare) che chiedono semplicemente maggiori informazioni, senza che ci sia alcuna retorica per valutare determinate "skill" del solutore
Su una cosa non concordo: lo studio della psicologia umana è di una noia mortale.
TO/
Ora mi metto dalla parte dei cretini: qual è la domanda? Perché, vedi, di tutti i tuoi psicoblabla non si è capito 'na mazza.
"Anonimia":
@gio73: "non capisco dove si voglia andare a parare" vuol dire che non capisci cosa chiede il problema?
ahahah!
È Incredibile e interessante vedere come le menti autoreferenziali, abituate a ragionamenti a spanne e sempre credendo che le informazioni non contino, trovino delle così grandi difficoltà nel capire così semplici domande (o forse si rifiutano proprio, per timore di uscire dalla loro scatola di autoreferenzialità senza più riuscire a tornare) che chiedono semplicemente maggiori informazioni, senza che ci sia alcuna retorica per valutare determinate "skill" del solutore
Su una cosa non concordo: lo studio della psicologia umana è di una noia mortale.
TO/
Ora mi metto dalla parte dei cretini: qual è la domanda? Perché, vedi, di tutti i tuoi psicoblabla non si è capito 'na mazza.
- /OT[/list:u:3krgwf38][/list:u:3krgwf38]
Ecco,
ero sicuro che il solito furbone avrebbe rigirato le mie parole sulla mia domanda.
Senza però considerare che "non capisco dove si voglia andare a parare" può avere diverse accezioni [size=70](a mio parere tutte determinate dalla poca voglia di leggere il testo, ma questo è un altro discorso)[/size], mentre "trova le probabilità di vittoria del gioco" ne ha una ed una sola.
Se ho riscritto la domanda è semplicemente perchè non volevo dare altre informazioni oltre a quelle già presenti (forse non l'hai capito perchè eri troppo irritato dalla mia frase precedente? bah..)... non per chissà quale altro motivo ti sei immaginato.
Se invece di immischiarti, per non perdere occasione di dimostrare quanto poco sei maturo, provassi invece a risolvere il problema (per il quale, vi dico adesso, bastano solo un paio di righe di tutta quella roba) faresti un favore all'umanità.
- OT\[/list:u:3krgwf38][/list:u:3krgwf38]
Il problema non è solo un test di combinatoria; contiene (molte) informazioni superflue e inutili al raggiungimento della soluzione, messe lì per testare anche delle capacità diverse da quelle matematiche.
ADD: Prima di riscrivere il mero problema senza fronzoli aspetterò un paio di giorni, chissà che non ci sia una persona normale che, invece di polemizzare sui commenti degli altri, provi invece a risolverlo. byez
[xdom="hamming_burst"]@Anonimia: Ti ricordo di tenere un comportamento più consono a dove ti trovi. Non si tollerano insulti a NESSUNO. Avvisato.
Se la tua domanda è poco chiara, con secondi fini oltre la discussione matematica hai sbagliato sezione.
Ora si discuta del solo esercizio e il "superfluo" o qualunque cosa sia, lasciamolo fuori.[/xdom]
Se la tua domanda è poco chiara, con secondi fini oltre la discussione matematica hai sbagliato sezione.
Ora si discuta del solo esercizio e il "superfluo" o qualunque cosa sia, lasciamolo fuori.[/xdom]
Sorry io non intendevo offendere dicendo "poco maturo", se così sembrava, mi scuso. A volte scrivo tutto quello che penso, anche quando non dovrei.
Detto questo, aspetto un po', come ho già scritto sù.
Detto questo, aspetto un po', come ho già scritto sù.
/OT (e poi la pianto, garantisco)
Sono assai felice di essere assurto a "solito furbone". Ma vedi, io non ho rigirato nulla: si tratta di una parodia. Hai scritto un messaggio - a mio vedere - inutile, futile e autoreferenziale, e io l'ho parodiato. Ora:
- se sai cos'è una parodia, o non l'hai capita oppure era mal fatta; in entrambi i casi me ne farò una ragione;
- se non sai cosa sia, ti consiglio di informarti e poi ne riparliamo.
Ehm ehm... una (mia) parodia non fa considerazioni di genere, merito, tipo o quant'altro. Viene così come viene, o piace o no. In entrambi i casi me ne farò una ragione #2.
Verissimo. Un solo problema: il gioco qual è?
Più che irritato, direi divertito.
Cosa ti ha fatto pensare potessi essere irritato?
Siamo in un forum, non in una discussione privata, ergo posso "immischiarmi".
Scrivi messaggi criptici, faccio ironia su un tuo messaggio (una parodia è anche una presa in giro, per definizione) alla quale tu rispondi con tono da ragazzino offeso e poi il poco maturo sarei io?
Addirittura!
TO/
Il problema rimane il solito: prima di scrivere, verificare cosa si sta scrivendo e dove lo si sta scrivendo. Sei in un forum di matematica, nella sezione "Statistica e probabilità" che è raggruppato sotto "Matematica per l'Università". Se il tuo intento era quello di stimolare capacità solutive extra matematiche a-la-"Settimana Enigmistica"(1), dovevi aprire un argomento sotto "Giochi Matematici".
(Nota: "testare" è un neologismo orribile... possiamo aver più rispetto per la nostra lingua? Va da sé che questa è mia personalissima opinione).
Per la (non) polemica vedi sopra. Per il resto ne dubito: sono pronto a scommettere euro contro ceci che la domanda posta non è chiara, o dà per scontato assunzioni che non sono nel testo - psicoblabla a parte. Pertanto mi rimetto ancora una volta dalla parte dei cretini e chiedo: qual è il problema?
Se poi devo aspettare un giorno o due, ahimé! me ne farò una ragione #3.
(1) Con tutto il rispetto per la storica rivista, alla quale sono molto affezionato.
@moderatori, hamming_burst: l'intento del presente messaggio non è di polemica ma di puntualità, off-topic a parte - spero si sia capito. Sono convinto che il problema sia mal posto, e attenderò chiarimenti e/o smentite in merito (la cosa ovviamente non mi toglierà il sonno). Se volete cancellare il presente messaggio o castigarmi in altro modo, me ne farò una ragione.
"Anonimia":
ero sicuro che il solito furbone avrebbe rigirato le mie parole sulla mia domanda.
Sono assai felice di essere assurto a "solito furbone". Ma vedi, io non ho rigirato nulla: si tratta di una parodia. Hai scritto un messaggio - a mio vedere - inutile, futile e autoreferenziale, e io l'ho parodiato. Ora:
- se sai cos'è una parodia, o non l'hai capita oppure era mal fatta; in entrambi i casi me ne farò una ragione;
- se non sai cosa sia, ti consiglio di informarti e poi ne riparliamo.
"Anonimia":
Senza però considerare che
Ehm ehm... una (mia) parodia non fa considerazioni di genere, merito, tipo o quant'altro. Viene così come viene, o piace o no. In entrambi i casi me ne farò una ragione #2.
"Anonimia":
... può avere diverse accezioni ... "trova le probabilità di vittoria del gioco" ne ha una ed una sola.
Verissimo. Un solo problema: il gioco qual è?
"Anonimia":
... eri troppo irritato dalla mia frase precedente?
Più che irritato, direi divertito.
Cosa ti ha fatto pensare potessi essere irritato?"Anonimia":
Se invece di immischiarti
Siamo in un forum, non in una discussione privata, ergo posso "immischiarmi".
"Anonimia":
per non perdere occasione di dimostrare quanto poco sei maturo
Scrivi messaggi criptici, faccio ironia su un tuo messaggio (una parodia è anche una presa in giro, per definizione) alla quale tu rispondi con tono da ragazzino offeso e poi il poco maturo sarei io?
"Anonimia":
faresti un favore all'umanità
Addirittura!
TO/
"Anonimia":
Il problema non è solo un test di combinatoria; contiene (molte) informazioni superflue e inutili al raggiungimento della soluzione, messe lì per testare anche delle capacità diverse da quelle matematiche.
Il problema rimane il solito: prima di scrivere, verificare cosa si sta scrivendo e dove lo si sta scrivendo. Sei in un forum di matematica, nella sezione "Statistica e probabilità" che è raggruppato sotto "Matematica per l'Università". Se il tuo intento era quello di stimolare capacità solutive extra matematiche a-la-"Settimana Enigmistica"(1), dovevi aprire un argomento sotto "Giochi Matematici".
(Nota: "testare" è un neologismo orribile... possiamo aver più rispetto per la nostra lingua? Va da sé che questa è mia personalissima opinione).
"Anonimia":
chissà che non ci sia una persona normale che, invece di polemizzare sui commenti degli altri, provi invece a risolverlo.
Per la (non) polemica vedi sopra. Per il resto ne dubito: sono pronto a scommettere euro contro ceci che la domanda posta non è chiara, o dà per scontato assunzioni che non sono nel testo - psicoblabla a parte. Pertanto mi rimetto ancora una volta dalla parte dei cretini e chiedo: qual è il problema?
Se poi devo aspettare un giorno o due, ahimé! me ne farò una ragione #3.
(1) Con tutto il rispetto per la storica rivista, alla quale sono molto affezionato.
@moderatori, hamming_burst: l'intento del presente messaggio non è di polemica ma di puntualità, off-topic a parte - spero si sia capito. Sono convinto che il problema sia mal posto, e attenderò chiarimenti e/o smentite in merito (la cosa ovviamente non mi toglierà il sonno). Se volete cancellare il presente messaggio o castigarmi in altro modo, me ne farò una ragione.
Oh, una parodia! Ma tu guarda!
A me non piace cianciare (al contrario di te), quindi ti rispondo in un paio di righe:
1) Quando si accennano "parodie" o simili, con ironia/sarcasmo, sarebbe consono aggiungere degli smiles per farlo capire.... altrimenti dimostri di non aver ancora imparato ad esprimerti su una "board". Dovresti sapere che la comunicazione scritta è diversa da quella orale, e facilmente malinterpretabile.
2) Usare neologismi vuol dire addirittura "non avere rispetto per la nostra lingua"???? LOOOL !! Ciccio, le lingue sono in costante evoluzione, l'introduzione di neologismi in una lingua ufficiale è cosa frequentissima. Senza i "neologismi" (con il disprezzo col quale li descrivi) parleremmo ancora tutti l'italiano del Quattrocento di Dante Alighieri.
________________________________________________________
Comunque... quello che volevo valutare l'ho valutato. Vado al sodo, scrivo il mio ragionamento. Teoricamente mi sembra che non faccia pieghe, ma le simulazioni non dicono lo stesso.
Non si poteva sbagliare: il gioco è quello. l'unica richiesta era "trovare le probabilità di vittoria del gioco" e l'unico evento per il quale si avevano abbastanza informazioni era quello. Ora:
Per trovare le probabilità dell'evento (che chiamo E) mi servo dell'evento complementare di probabilità \(\displaystyle p \) "qualunque giorno si becchi, almeno uno dei partecipanti fa il compleanno tale giorno". La probabilità di \(\displaystyle E \) sarà \(\displaystyle 1-p \) . C'è solo una piccola osservazione da fare: per n<365 l'evento complementare ha probabilità 0 , però quello iniziale non ha probabilità \(\displaystyle 1-p = 1 \). Dunque bisogna dividere in due casi
\(\displaystyle n<365 \)
\(\displaystyle n=>365 \)
Vedo il secondo caso:
FAVOREVOLI: beh, saranno tutti i possibili "partizionamenti" dell'insieme di n elementi (distinti, visto che sono persone) tali che nessun sottoinsieme sia vuoto. Sembra proprio che Stirling di 2° tipo faccia al caso mio! = StirlingT2[n, 365]
POSSIBILI: tutti i possibili modi nei quali n persone possono distribuirsi nei 365 giorni dell'anno, quindi 365^n. Dunque:
Probabilità complementare: \(\displaystyle \frac{StirlingT2[n, 365]}{365^n} = \frac{\frac{1}{365!} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n}}{365^n} = \frac{1}{(365!)(365^{n})} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n} \)
Probabilità finale: \(\displaystyle 1 - \frac{1}{(365!)(365^{n})} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n} \)
Non riesco a capire se (e dove) sbaglio. a me sembra giusto. eppure su wolfram, con n=2300, mi restituisce \(\displaystyle \approx 1 - 2.0424135683 \cdot 10^{-779} \) che mi sembra troppo alta... bah
A me non piace cianciare (al contrario di te), quindi ti rispondo in un paio di righe:
1) Quando si accennano "parodie" o simili, con ironia/sarcasmo, sarebbe consono aggiungere degli smiles per farlo capire.... altrimenti dimostri di non aver ancora imparato ad esprimerti su una "board". Dovresti sapere che la comunicazione scritta è diversa da quella orale, e facilmente malinterpretabile.
2) Usare neologismi vuol dire addirittura "non avere rispetto per la nostra lingua"???? LOOOL !! Ciccio, le lingue sono in costante evoluzione, l'introduzione di neologismi in una lingua ufficiale è cosa frequentissima. Senza i "neologismi" (con il disprezzo col quale li descrivi) parleremmo ancora tutti l'italiano del Quattrocento di Dante Alighieri.
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Comunque... quello che volevo valutare l'ho valutato.
Vado al sodo, scrivo il mio ragionamento. Teoricamente mi sembra che non faccia pieghe, ma le simulazioni non dicono lo stesso.Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti sono in palio
( ... )
Considerare nel calcolo anche gli anni bisestili era troppo per il governo dei tecnici, che quindi vi hanno anche semplificato il problema
Non si poteva sbagliare: il gioco è quello. l'unica richiesta era "trovare le probabilità di vittoria del gioco" e l'unico evento per il quale si avevano abbastanza informazioni era quello. Ora:
Per trovare le probabilità dell'evento (che chiamo E) mi servo dell'evento complementare di probabilità \(\displaystyle p \) "qualunque giorno si becchi, almeno uno dei partecipanti fa il compleanno tale giorno". La probabilità di \(\displaystyle E \) sarà \(\displaystyle 1-p \) . C'è solo una piccola osservazione da fare: per n<365 l'evento complementare ha probabilità 0 , però quello iniziale non ha probabilità \(\displaystyle 1-p = 1 \). Dunque bisogna dividere in due casi
\(\displaystyle n<365 \)
\(\displaystyle n=>365 \)
Vedo il secondo caso:
FAVOREVOLI: beh, saranno tutti i possibili "partizionamenti" dell'insieme di n elementi (distinti, visto che sono persone) tali che nessun sottoinsieme sia vuoto. Sembra proprio che Stirling di 2° tipo faccia al caso mio! = StirlingT2[n, 365]
POSSIBILI: tutti i possibili modi nei quali n persone possono distribuirsi nei 365 giorni dell'anno, quindi 365^n. Dunque:
Probabilità complementare: \(\displaystyle \frac{StirlingT2[n, 365]}{365^n} = \frac{\frac{1}{365!} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n}}{365^n} = \frac{1}{(365!)(365^{n})} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n} \)
Probabilità finale: \(\displaystyle 1 - \frac{1}{(365!)(365^{n})} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n} \)
Non riesco a capire se (e dove) sbaglio. a me sembra giusto. eppure su wolfram, con n=2300, mi restituisce \(\displaystyle \approx 1 - 2.0424135683 \cdot 10^{-779} \) che mi sembra troppo alta... bah
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=StirlingS2[2300,365]/(365^2300)[/list:u:2fsob833][/list:u:2fsob833]
@Rggb et al.: Ricordate:
[img]http://images.tribe.net/tribe/upload/photo/8e2/8d1/8e28d158-7daa-446b-b738-67d29898dc06[/img]
@Anonimia: Quello per l'infermiera asiatica non era vero amore... Ora ti è passato e ti sei buttato in politica, vedo.
[img]http://images.tribe.net/tribe/upload/photo/8e2/8d1/8e28d158-7daa-446b-b738-67d29898dc06[/img]
@Anonimia: Quello per l'infermiera asiatica non era vero amore... Ora ti è passato e ti sei buttato in politica, vedo.
.
Comodo appioppare l'etichetta di troll, eh?
{ gugo82 } Ti contraddici da solo. Inciti tutti a non considerare i troll ...e subito dopo mandi una provocazione!!!
______________________________________________
Dai, smetto di rispondere, Spero che arrivino pareri/aiuti!
Comodo appioppare l'etichetta di troll, eh?
{ gugo82 } Ti contraddici da solo. Inciti tutti a non considerare i troll ...e subito dopo mandi una provocazione!!!
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Dai, smetto di rispondere, Spero che arrivino pareri/aiuti!
"Anonimia":
Vado al sodo, scrivo il mio ragionamento. Teoricamente mi sembra che non faccia pieghe, ma le simulazioni non dicono lo stesso.
Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti sono in palio
( ... )
Considerare nel calcolo anche gli anni bisestili era troppo per il governo dei tecnici, che quindi vi hanno anche semplificato il problema
Non si poteva sbagliare: il gioco è quello. l'unica richiesta era "trovare le probabilità di vittoria del gioco" e l'unico evento per il quale si avevano abbastanza informazioni era quello. Ora:
Per trovare le probabilità dell'evento (che chiamo E) mi servo dell'evento complementare di probabilità \(\displaystyle p \) "qualunque giorno si becchi, almeno uno dei partecipanti fa il compleanno tale giorno". La probabilità di \(\displaystyle E \) sarà \(\displaystyle 1-p \) . C'è solo una piccola osservazione da fare: per n<365 l'evento complementare ha probabilità 0 , però quello iniziale non ha probabilità \(\displaystyle 1-p = 1 \). Dunque bisogna dividere in due casi
\(\displaystyle n<365 \)
\(\displaystyle n=>365 \)
Vedo il secondo caso:
FAVOREVOLI: beh, saranno tutti i possibili "partizionamenti" dell'insieme di n elementi (distinti, visto che sono persone) tali che nessun sottoinsieme sia vuoto. Sembra proprio che Stirling di 2° tipo faccia al caso mio! = StirlingT2[n, 365]
POSSIBILI: tutti i possibili modi nei quali n persone possono distribuirsi nei 365 giorni dell'anno, quindi 365^n. Dunque:
Probabilità complementare: \(\displaystyle \frac{StirlingT2[n, 365]}{365^n} = \frac{\frac{1}{365!} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n}}{365^n} = \frac{1}{(365!)(365^{n})} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n} \)
Probabilità finale: \(\displaystyle 1 - \frac{1}{(365!)(365^{n})} \sum_{i=0}^{365} (-1)^{365-i}{365 \choose i} i^{n} \)
Non riesco a capire se (e dove) sbaglio. a me sembra giusto. eppure su wolfram, con n=2300, mi restituisce \(\displaystyle \approx 1 - 2.0424135683 \cdot 10^{-779} \) che mi sembra troppo alta... bah
http://www.wolframalpha.com/input/?i=StirlingS2[2300,365]/(365^2300)[/list:u:2cjhvl4l][/list:u:2cjhvl4l]
@gugo82:
Dàài... ogni tanto qualcosa si può concedere! "Dè, basta una nicciolina e subito si mettano a' ruzzà".
Però stai cercando di calcolare la probabilità che un (1) giocatore indovini un giorno in cui non sono nate $n$ persone. Ma i giocatori non erano 30?
Vabbè, possiamo calcolarla dopo, procediamo.
Qui non mi torna, secondo me mischi combinazioni e disposizioni. $S(n, k)$ calcola il numero di modi in cui puoi partizionare un insieme di cardinalità $n$ in $k$ sottoinsiemi; se vuoi proseguire su questa strada, dovresti considerare come casi possibili il numero di possibili sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi, ovvero $2^n$.
EDIT: magari contare le disposizioni è meglio - la formula è analoga. Vedi anche
post381376.html#p381376
Dàài... ogni tanto qualcosa si può concedere! "Dè, basta una nicciolina e subito si mettano a' ruzzà".
"Anonimia":
Non si poteva sbagliare: il gioco è quello. l'unica richiesta era "trovare le probabilità di vittoria del gioco"
Però stai cercando di calcolare la probabilità che un (1) giocatore indovini un giorno in cui non sono nate $n$ persone. Ma i giocatori non erano 30?
Vabbè, possiamo calcolarla dopo, procediamo.
"Anonimia":
FAVOREVOLI: beh, saranno tutti i possibili "partizionamenti" dell'insieme di n elementi (distinti, visto che sono persone) tali che nessun sottoinsieme sia vuoto. Sembra proprio che Stirling di 2° tipo faccia al caso mio! = StirlingT2[n, 365]
POSSIBILI: tutti i possibili modi nei quali n persone possono distribuirsi nei 365 giorni dell'anno, quindi 365^n.
Qui non mi torna, secondo me mischi combinazioni e disposizioni. $S(n, k)$ calcola il numero di modi in cui puoi partizionare un insieme di cardinalità $n$ in $k$ sottoinsiemi; se vuoi proseguire su questa strada, dovresti considerare come casi possibili il numero di possibili sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi, ovvero $2^n$.
EDIT: magari contare le disposizioni è meglio - la formula è analoga. Vedi anche
post381376.html#p381376
"Rggb":
Però stai cercando di calcolare la probabilità che un (1) giocatore indovini un giorno in cui non sono nate $n$ persone
No, non hai capito. Cerco di calcolare le probabilità che un giocatore indovini un giorno in cui nessuno è nato.EDITdopo 5 sec: oh sì, diciamo la stessa cosa lol
Alla festa ci vanno tutti gli n. Si considerano i compleanni di tutti gli n. La consegna è chiara: Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti, sono in palio etc (il resto, con la sorpresa che solo in 30 potranno tirare alla roulette, è scritto molto dopo.
"Rggb":
Ma i giocatori non erano 30?
Che i giocatori (quelli che girano la roulette) siano 30, o che siano ventimila, le probabilità di vittoria del gioco (in sè) rimangono le stesse, poichè n rimane invariato. (sempre tenendo conto, come da consegna, che vanno considerati i compleanni di tutti i partecipanti della festa).
"Rggb":
$S(n, k)$ calcola il numero di modi in cui puoi partizionare un insieme di cardinalità $n$ in $k$ sottoinsiemi
Aggiungerei "non vuoti"... Comunque sì, S(n,k) fa quello. Ciò significa che, se \(\displaystyle n=persone \) e \(\displaystyle k = num.sottoinsiemi = numero di giorni dell'anno = 365 \), allora troverà tutti i possibili modi nei quali quelle persone possono distribuirsi in tutti giorni dell'anno in modo tale da non lasciarne mai uno vuoto.
"Rggb":
se vuoi proseguire su questa strada
Quali altre strade ci sarebbero? :S son curioso, questa è l'unica che mi è venuta in mente.
"Rggb":
dovresti considerare come casi possibili il numero di possibili sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi, ovvero $2^n$.
Ma perchè il numero di tutti i sottoinsiemi possibili , scusa?!?
Semai il numero di modi coi quali posso ordinare le persone in 365 sottoinsiemi (stavolta anche vuoti), ma non tutti i sottoinsiemi possibili :S -----------ADD: oddio, mi sono appena accorto che quanto ho appena detto non è assimilabile a \(\displaystyle 365^n \) :S LOL Come diavolo faccio a trovare questo numero? con le sole sole disposizioni (dei "separatori" fra un insieme e l'altro) non basta, perchè gli oggetti sono distinti!(sono persone!!!) ... mmm forse moltiplico le disposizioni dei "separatori" per le permutazioni possibili di n persone?
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