Il problema dei compleanni - variante
Salve a todos! 
Credo conosciate tutti il famoso problema dei compleanni...
Beh, qui sotto vi proporrò una sua variante leggermente più complicata, insieme alla mia soluzione, della quale non sono totalmente convinto poichè le simulazioni al computer restituiscono risultati diversi. Ci sono anche inf.......................naaa meglio non lo dico, ve ne accorgerete da soli..
Per la prima volta nella storia scolastica italiana (o meglio, dell'umanità xP) il ministero dell'istruzione decide di organizzare una super-mega-festa riservata a tutti i maturandi dell'anno corrente, che si terrà a Roma il 12/12/2012 (forse un po' in ritardo?). Ovviamente sono invitati tutti, ma non si sa in quanti realmente parteciperanno: l'esponenziale aumento di giovani matematici, fisici e nerds (chi di loro andrebbe mai ad una festa?) registrato ultimamente e causato dal "morbo delle olimpiadi" preoccupa infatti il ministero, che, considerata l'enorme pericolosità del fenomeno, prevede di ritrovarsi con due sole persone alla festa: il ministro Profumo (che sicuramente profumerà solo di alcol) e la Gelmini, che (altrettanto sicuramente) aprofitterà del suo stato per obiettivi che rimarranno ignoti a noi poveri umani. Perciò, deciso a trovare una soluzione, l'intero governo Monti si riunisce in un'assemblea straordinaria. Anche qualche amico/banchiere di Monti si presenta all'incontro, ma vengon tutti congedati con un sodo: "noo, la spartizione dei beni pubblici italiani è la prossima settimana bro!". Ore e ore di lavoro, con scartoffie varie e penne alla mano, le teste che scoppiano... tutto ciò per arrivare ad una soluzione considerata da loro tutti geniale, ma che in realtà sarebbe venuta in mente anche ad un bambino (scemo) di 10 anni: alla festa ci sarà un gioco con una sorpresa, e un grande premio in palio. Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti sono disponibili 80.000 euro di borsa per studiare alla "Berkeley", liberando così il fortunato dalla maledizione delle università italiane. Considerare nel calcolo anche gli anni bisestili era troppo per il governo dei tecnici, che quindi vi hanno anche semplificato il problema. Ovviamente è stato escogitato anche un modo per perdere meno denaro possibile (la sorpresa): i fortunati estrattori saranno solo 30, auto-selezionatisi dopo un torneo di arti marziali miste in stato di ebrezza (nerd e matematici non hanno speranza), e tutti gli altri perdenti saranno costretti a pagare 85cent a testa; il motivo della segretezza di quest'informazione è prevedibile/ovvio/palese/logico/elementare: il vincitore non sarà sicuramente all'altezza di un'università come Berkeley, perciò verrà cacciato a calci nel sedere dal test d'ammissione e il ministero avrà tutto guadagnato. Ora tocca a te valutare la soluzione dei ministri: trova le probabilità di vittoria del gioco.
Credo conosciate tutti il famoso problema dei compleanni...
Beh, qui sotto vi proporrò una sua variante leggermente più complicata, insieme alla mia soluzione, della quale non sono totalmente convinto poichè le simulazioni al computer restituiscono risultati diversi. Ci sono anche inf.......................naaa meglio non lo dico, ve ne accorgerete da soli..
Per la prima volta nella storia scolastica italiana (o meglio, dell'umanità xP) il ministero dell'istruzione decide di organizzare una super-mega-festa riservata a tutti i maturandi dell'anno corrente, che si terrà a Roma il 12/12/2012 (forse un po' in ritardo?). Ovviamente sono invitati tutti, ma non si sa in quanti realmente parteciperanno: l'esponenziale aumento di giovani matematici, fisici e nerds (chi di loro andrebbe mai ad una festa?) registrato ultimamente e causato dal "morbo delle olimpiadi" preoccupa infatti il ministero, che, considerata l'enorme pericolosità del fenomeno, prevede di ritrovarsi con due sole persone alla festa: il ministro Profumo (che sicuramente profumerà solo di alcol) e la Gelmini, che (altrettanto sicuramente) aprofitterà del suo stato per obiettivi che rimarranno ignoti a noi poveri umani. Perciò, deciso a trovare una soluzione, l'intero governo Monti si riunisce in un'assemblea straordinaria. Anche qualche amico/banchiere di Monti si presenta all'incontro, ma vengon tutti congedati con un sodo: "noo, la spartizione dei beni pubblici italiani è la prossima settimana bro!". Ore e ore di lavoro, con scartoffie varie e penne alla mano, le teste che scoppiano... tutto ciò per arrivare ad una soluzione considerata da loro tutti geniale, ma che in realtà sarebbe venuta in mente anche ad un bambino (scemo) di 10 anni: alla festa ci sarà un gioco con una sorpresa, e un grande premio in palio. Una roulette di soli numeri, da 1a365: per chi becca il giorno in cui non è nato nessuno dei partecipanti sono disponibili 80.000 euro di borsa per studiare alla "Berkeley", liberando così il fortunato dalla maledizione delle università italiane. Considerare nel calcolo anche gli anni bisestili era troppo per il governo dei tecnici, che quindi vi hanno anche semplificato il problema. Ovviamente è stato escogitato anche un modo per perdere meno denaro possibile (la sorpresa): i fortunati estrattori saranno solo 30, auto-selezionatisi dopo un torneo di arti marziali miste in stato di ebrezza (nerd e matematici non hanno speranza), e tutti gli altri perdenti saranno costretti a pagare 85cent a testa; il motivo della segretezza di quest'informazione è prevedibile/ovvio/palese/logico/elementare: il vincitore non sarà sicuramente all'altezza di un'università come Berkeley, perciò verrà cacciato a calci nel sedere dal test d'ammissione e il ministero avrà tutto guadagnato. Ora tocca a te valutare la soluzione dei ministri: trova le probabilità di vittoria del gioco.
Risposte
"Anonimia":
Che i giocatori (quelli che girano la roulette) siano 30, o che siano ventimila, le probabilità di vittoria del gioco (in sè) rimangono le stesse, poichè n rimane invariato.
Stavo solo ruzzando un po'. Te lo dicevo che il problema non era chiaro.
"Anonimia":
Quali altre strade ci sarebbero?
Contare le disposizioni (v. dopo).
"Anonimia":
Ma perchè il numero di tutti i sottoinsiemi possibili , scusa?!?
Perché $S(n,k)$ conta insiemi (e quindi combinazioni), mentre $365^n$ conta disposizioni, come ti ho detto - vabbé, te ne sei accorto da solo.
Metodo alternativo: hai provato a leggere quella vecchia discussione (il link che avevo messo prima)?
Rispondo per il caso n=2300
La probabilità che nessuno festeggi è (1-1/365)**2300. Con wolfram 0,001818. STOP.
Senza scomodare Wolfram un calcolo approssimato è il seguente.
E' noto che se dobbiamo riempire un album di 365 figurine e ne acquistiamo singolarmente proprio 365 rimane scoperta una frazione di album pari a circa 1/e (per 365 che va all' infinito la probabilità che una specifica figurina mi manchi tende proprio a 1/e, ossia 36,79%). Espresso come frazione è 0,3679.
Bene passando da 365 a 2300 gli individui significa che acquistiamo altre 365 carte , poi altre 365 carte etc , ossia circa 6,3 volte.
La probabilità che la mia carta non sia ancora uscita dopo 6,3 cicli deve essere 0,3679**6,3= 0,0018
PS: il modo in cui è stato proposto il problema mi ha infastidito non poco
La probabilità che nessuno festeggi è (1-1/365)**2300. Con wolfram 0,001818. STOP.
Senza scomodare Wolfram un calcolo approssimato è il seguente.
E' noto che se dobbiamo riempire un album di 365 figurine e ne acquistiamo singolarmente proprio 365 rimane scoperta una frazione di album pari a circa 1/e (per 365 che va all' infinito la probabilità che una specifica figurina mi manchi tende proprio a 1/e, ossia 36,79%). Espresso come frazione è 0,3679.
Bene passando da 365 a 2300 gli individui significa che acquistiamo altre 365 carte , poi altre 365 carte etc , ossia circa 6,3 volte.
La probabilità che la mia carta non sia ancora uscita dopo 6,3 cicli deve essere 0,3679**6,3= 0,0018
PS: il modo in cui è stato proposto il problema mi ha infastidito non poco
"topi":
PS: il modo in cui è stato proposto il problema mi ha infastidito non poco
Anonimia infatti è stato richiamato dal moderatore e la discussione è tornata nei binari appropriati.
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