[HELP] Ricavare constante da densita congiunta etc.

[Matteo Gobbi]

Ragazzi salve sono nuovo e il 24 ho l'esame di probailita e statistica.
Sto facendo esercizi ma sul libro in dotazione mancano davvero molte cose. Volevo esporvi questo problema sperando che qualcuno mi spiehi dettagliatamente come risolverlo:

"Si osserva l'efficacia (X) e la tossicità (Y) di un farmaco. Si stima che la coppia (X, Y) abbia distribuzione continua con densità congiunta:

f(x,y) = ° 0 se x o y < 0
° c e^-2(x+y) se x e y >= 0

a) Determinare la costante c

b) Verificare se X e Y sono indipendenti

c) Calcolare P(efficacia > 10)"

Perfavor ragazzi rispondete a quello che sapete ma aiutatemi!!!

[clrscr]

"Matteo Gobbi":Ragazzi salve sono nuovo e il 24 ho l'esame di probailita e statistica.
Sto facendo esercizi ma sul libro in dotazione mancano davvero molte cose. Volevo esporvi questo problema sperando che qualcuno mi spiehi dettagliatamente come risolverlo:

"Si osserva l'efficacia (X) e la tossicità (Y) di un farmaco. Si stima che la coppia (X, Y) abbia distribuzione continua con densità congiunta:

f(x,y) = ° 0 se x o y < 0
° c e^-2(x+y) se x e y >= 0

a) Determinare la costante c

b) Verificare se X e Y sono indipendenti

c) Calcolare P(efficacia > 10)"

Perfavor ragazzi rispondete a quello che sapete ma aiutatemi!!!

Le densità cogiunta è la seguente ,presuppongo:
$f(x,y)={(0 \text{ se x o y< 0}),(ce^(-2(x+y)) \text{ se x e y >=0}):}$.

Per quanto riguarda la domanda A:

$int_(RR^2) f(x,y) dx dy=1$ cioè $int_0^(+oo) int_0^(+oo) c e^(-2(x+y)) dxdy =1$ ti lascio la risoluzione visto che è semlicissima.

Per la risposta B:
la variabili $X$ e $Y$ NON sono indipendenti. Basta vedere che P(X>10) dipende dal fatto che Y è minore o maggiore a zero.

Per la rip. C:

$P(X>10)=int_0^(+oo) P(X>10,Y=y) d y=int_0^(+oo) int_10^(+oo) ce^(-2(x+y)) dxdy$

[Matteo Gobbi]

Ti ringrazio

[elgiovo]

"clrscr":

Per la risposta B:
la variabili $X$ e $Y$ NON sono indipendenti. Basta vedere che P(X>10) dipende dal fatto che Y è minore o maggiore a zero.

Non capisco il ragionamento. Io avrei detto che sono indipendenti, infatti calcolando le marginali $f_X(x)=int_RR f_(XY)(x,y)dy$ e $f_Y(y)=int_RR f_(XY)(x,y)dx$ si ottiene che $f_(XY)(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)$. Sbaglio?

[clrscr]

"elgiovo":[quote="clrscr"]

Per la risposta B:
la variabili $X$ e $Y$ NON sono indipendenti. Basta vedere che P(X>10) dipende dal fatto che Y è minore o maggiore a zero.

Non capisco il ragionamento. Io avrei detto che sono indipendenti, infatti calcolando le marginali $f_X(x)=int_RR f_(XY)(x,y)dy$ e $f_Y(y)=int_RR f_(XY)(x,y)dx$ si ottiene che $f_(XY)(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)$. Sbaglio?[/quote]

Però facendo in questo modo mi nascono due problemi:
1) Allora la $P[X>10]=int_10^(+oo) f(x)dx$ però è diversa se condizioniamo sul fatto che Y sia maggiore o minore a zero, cioè: $P[X>10]=int_0^(+oo)int_10^(+oo) f(x,y)dx dy$.

2) Quella "maledetta" costante "c" come viene divisa tra le due marginali?

[elgiovo]

"clrscr":
1) Allora la $P[X>10]=int_10^(+oo) f(x)dx$ però è diversa se condizioniamo sul fatto che Y sia maggiore o minore a zero, cioè: $P[X>10]=int_0^(+oo)int_10^(+oo) f(x,y)dx dy$.

Beh, no. Infatti con l'integrale doppio stai facendo due operazioni in una: $int_(0)^(oo)$ satura rispetto a $y$; il risultato, da integrare poi tra $10$ e $oo$, è proprio $f_X(x)$.

"clrscr":
2) Quella "maledetta" costante "c" come viene divisa tra le due marginali?

Satura e lo vedrai: $c$ viene spartita in maniera fifty-fifty.

[clrscr]

Però se le due v.a fossero indipendenti, si avrebbe:
$P[X>10|Y>0]=P[X>10|Y<0]$ il che non mi sembra verificato.....

[elgiovo]

"clrscr":Però se le due v.a fossero indipendenti, si avrebbe:
$P[X>10|Y>0]=P[X>10|Y<0]$ il che non mi sembra verificato.....

Come calcoli $P[X>10|Y<0]$? La probabilità condizionata $P[A|B]$ ha significato solo se $P ne 0$.

Io ragionerei così: laddove $f_Y(y)ne 0$, $f_(X|Y)(x,y)=(f_(XY)(x,y))/(f_Y(y))=(f_X(x)*f_Y(y))/(f_Y(y))=f_X(x)$, in base a quanto visto prima; dunque la densità condizionata risulta indipendente da $y$.