Grafico di una Densità Spettrale
Ho un esercizio di statistica relativo alle serie storiche:
Dato il processo $ y_t=y_(t-1)+\theta\epsilon_(t-1)+\epsilon_t $ dove $ epsilon_t~WN(0,\sigma^2) $
mi si chiede di trovare la densità spettrale, dove il segnale sarebbero le covarianze di questo processo. Scrivo questo per completezza, ma il mio dubbio non è di tipo statistico.
La densità spettrale come dice è pari a $ f(\omega)=1/(2\pi)[\gamma(0)+2\sum_(j=1)^k\gamma(j)cos(\omegaj)] $
adesso nel mio processo ottengo un $ \gamma(0)=\sigma^2(1+\theta^2) $ che sarebbe la varianza e $ \gamma(1)=\sigma^2\theta$ che è la sola e unica covarianza del processo..
La densità spettrale è uguale a
$ f(\omega)=1/(2\pi)\sigma^2[1+\theta^2+2\thetacos(\lambda)] $
ora ipotizzando dei valori di $\sigma=1$ e $\theta=0.5$ come faccio a fare il grafico di questa funzione e calcolarmi i valori a mano? Grazie per l'aiuto
Dato il processo $ y_t=y_(t-1)+\theta\epsilon_(t-1)+\epsilon_t $ dove $ epsilon_t~WN(0,\sigma^2) $
mi si chiede di trovare la densità spettrale, dove il segnale sarebbero le covarianze di questo processo. Scrivo questo per completezza, ma il mio dubbio non è di tipo statistico.
La densità spettrale come dice è pari a $ f(\omega)=1/(2\pi)[\gamma(0)+2\sum_(j=1)^k\gamma(j)cos(\omegaj)] $
adesso nel mio processo ottengo un $ \gamma(0)=\sigma^2(1+\theta^2) $ che sarebbe la varianza e $ \gamma(1)=\sigma^2\theta$ che è la sola e unica covarianza del processo..
La densità spettrale è uguale a
$ f(\omega)=1/(2\pi)\sigma^2[1+\theta^2+2\thetacos(\lambda)] $
ora ipotizzando dei valori di $\sigma=1$ e $\theta=0.5$ come faccio a fare il grafico di questa funzione e calcolarmi i valori a mano? Grazie per l'aiuto
Risposte
Non capisco. Dopo tutte queste cose super sofisticate ti blocchi sul grafico di un coseno? Forse non capisco dov'è il problema.
ciò che a me non piace e non trovo intuitivo è la sommatoria $ sum_(j=1)^k\gamma(j)cos(\omegaj). $
in particolare l'indice $j$ dentro il coseno: mi spiego meglio sembra quasi che (per uno che non se ne intende come me) $ sum_(j=1)^kcos(\omegaj)=cos(\omega1)+cos(\omega2)+cos(\omega3)+...+cos(\omegak) $
niente, adesso rivedendolo mi sembra chiaro... il mio dubbio era che la funzione coseno non esisteva per valori $>1$.
Non avevo considerato che $cos(\omega2)$ raddoppia la frequenza, $cos(\omega3)$ la triplica e così via...
Tornando al mio caso quindi più saliamo con l'ordine della covarianze (che sono segnali) più il valore delle covarianze è legato a un coseno con frequenza più alta. Non so se sia corretto o meno che ne pensi? Qualsiasi consiglio è ben accetto
nel grafico:
$ t=\theta $
$ g=\gamma $
PS: sembra roba difficile ma ti assicuro che non lo è, sono numeri(varianza e covarianze) moltiplicati per una frequenza angolare.
in particolare l'indice $j$ dentro il coseno: mi spiego meglio sembra quasi che (per uno che non se ne intende come me) $ sum_(j=1)^kcos(\omegaj)=cos(\omega1)+cos(\omega2)+cos(\omega3)+...+cos(\omegak) $
niente, adesso rivedendolo mi sembra chiaro... il mio dubbio era che la funzione coseno non esisteva per valori $>1$.
Non avevo considerato che $cos(\omega2)$ raddoppia la frequenza, $cos(\omega3)$ la triplica e così via...
Tornando al mio caso quindi più saliamo con l'ordine della covarianze (che sono segnali) più il valore delle covarianze è legato a un coseno con frequenza più alta. Non so se sia corretto o meno che ne pensi? Qualsiasi consiglio è ben accetto
nel grafico:
$ t=\theta $
$ g=\gamma $
PS: sembra roba difficile ma ti assicuro che non lo è, sono numeri(varianza e covarianze) moltiplicati per una frequenza angolare.
Non so quale sia il tuo dubbio, e davvero non avrò tempo da dedicare a questa discussione nei prossimi giorni, quindi non posso aggiungere altro. Spero tu ti sia chiarito un po' le idee scrivendo qui. In caso contrario, prova a postare una domanda più specifica. Grazie
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