Gioco delle 3 carte generalizzato
Consideriamo il gioco delle 3 carte e questa volta generalizziamo ad n carte e giochiamo m partite.Il costo per scoprire una carta è 1 euro, e la vincita per l'individuazione della carta vincente è di v euro,dove v può assumere valori da 2 ad n.Ora noi possiamo girare k carte, dove 1<=k<=n. Qual' è la strategia migliore, cioè qual è il numero di carte migliore che possiamo girare affinchè la vincita attesa (Vincita-Costo) sia la migliore possibile?
Questo è il problema ragazzi, spero che mi diate una mano,vi ringrazio anticipatamente.
Questo è il problema ragazzi, spero che mi diate una mano,vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Sono un dilettante di statistica, quindi attendo che qualcuno confermi o corregga.
Giocando una sola partita in cui giro $k$ carte e vinco $v$ se indovino, spendendo 1 per ogni carta che giro, a me la vincita media risulta.
$(1-Pi_{j=0}^{k-1} \frac{n-j-1}{n-j}) (v-k) - Pi_{j=1}^{k-1} \frac{n-j-1}{n-j}*k$
Se questo è giusto poi estendere alla vincita media di $m$ partite è facile....
Giocando una sola partita in cui giro $k$ carte e vinco $v$ se indovino, spendendo 1 per ogni carta che giro, a me la vincita media risulta.
$(1-Pi_{j=0}^{k-1} \frac{n-j-1}{n-j}) (v-k) - Pi_{j=1}^{k-1} \frac{n-j-1}{n-j}*k$
Se questo è giusto poi estendere alla vincita media di $m$ partite è facile....
Grazie mille sei stato gentilissimo!!!!
Ho corretto in parte la formula perché non tenevo conto che se vinci girando $k$ carte vinci $v-k$ visto che hai pagato comunque le $k$ carte girate.
Tieni anche conto che questa formula è la vincita media se tu decidi all'inizio di girare $k$ carte e ne giri $k$ indipendentemente da quando esce la tua carta, se invece la tua carta esce prima e quindi paghi meno di $k$ carte girate allora bisogna fare qualche altra considerazione (non difficile, quando riesco, se qualcun altro non lo fa prima o mi fa notare qualche errore in quanto scritto fin qui, faccio e riporto).
Tieni anche conto che questa formula è la vincita media se tu decidi all'inizio di girare $k$ carte e ne giri $k$ indipendentemente da quando esce la tua carta, se invece la tua carta esce prima e quindi paghi meno di $k$ carte girate allora bisogna fare qualche altra considerazione (non difficile, quando riesco, se qualcun altro non lo fa prima o mi fa notare qualche errore in quanto scritto fin qui, faccio e riporto).
va bene grazie,fammi sapere
Nel caso invece in cui si scommette volta per volta 1 euro, fino a vincere o a fermarsi dopo $k$ tentativi, la vincita media dovrebbe essere pari alla probabilità di vincere esattamente alla prima carta girata per la vincita relativa, più la probabilità di vincere esattamente alla seconda carta girata per la vincita relativa, fino a sommare la probabilità di vincere esattamente alla kesima carta girata per la vincita relativa, a questa va sottratta la probabilità di non vincere dopo k carte girate moltiplicato per la relativa perdita pari a $k$ euro.
Se non ho fatto errori con gli indici la vincita media in formule dovrebbe essere:
$1/n*(v-1)+sum_{s=1}^{k-1} ( Pi_{j=0}^{s-1}(\frac{N-j-1}{N-j})*1/(N-s)*(v-s-1))-Pi_{j=0}^{k-1}(\frac{N-j-1}{N-j})*k$
Ho modificato ancora anche la formula della prima risposta perché c'era una svista.
Tutto sempre con beneficio di inventario.....
Se non ho fatto errori con gli indici la vincita media in formule dovrebbe essere:
$1/n*(v-1)+sum_{s=1}^{k-1} ( Pi_{j=0}^{s-1}(\frac{N-j-1}{N-j})*1/(N-s)*(v-s-1))-Pi_{j=0}^{k-1}(\frac{N-j-1}{N-j})*k$
Ho modificato ancora anche la formula della prima risposta perché c'era una svista.
Tutto sempre con beneficio di inventario.....
Grazie mille!!!!
Comunque io la vedrei più dalla parte del banco, visto che al giocatore conviene sempre girare quante più carte possibili fino a che non vince.
Se voglio aprire una bancarella alla fiera in cui da un mazzo di 54 (52 + 2 jolly) faccio girare al giocatore un certo numero di carte facendomi dare 1 euro per ogni carta girata e dandogli 50 euro se indovina la sua carta, quante carte al massimo mi conviene far girare se voglio che la mi attività sia certamente redditizia e onesta (nel senso che non baro con trucchi, ma baro mettendomi nelle condizioni del banco)?
Tra l'altro posso anche far giocare più giocatori insieme a patto che, per ogni tornata, prima di ricominciare e mescolare tutte le carte, tutti girino le stesse carte.
Facendo i conti con questi numeri le carte da far girare al massimo a me risultano 8.
Se voglio aprire una bancarella alla fiera in cui da un mazzo di 54 (52 + 2 jolly) faccio girare al giocatore un certo numero di carte facendomi dare 1 euro per ogni carta girata e dandogli 50 euro se indovina la sua carta, quante carte al massimo mi conviene far girare se voglio che la mi attività sia certamente redditizia e onesta (nel senso che non baro con trucchi, ma baro mettendomi nelle condizioni del banco)?
Tra l'altro posso anche far giocare più giocatori insieme a patto che, per ogni tornata, prima di ricominciare e mescolare tutte le carte, tutti girino le stesse carte.
Facendo i conti con questi numeri le carte da far girare al massimo a me risultano 8.
Riflettendo per verificare se in quello che ho trovato fosse necessario supporre che, nel caso giochino più giocatori insieme, il banco debba evitare che i giocatori si accordino per giocare ciascuno una carta diversa, mi sono reso conto che quella preoccupazione non è necessaria e anzi offre una soluzione alternativa al problema che è più semplice e interessante di quella che ho esposto in precedenza (sicuramente è una banalità per gli esperti, ma a me dilettantone ha "dilettato" appunto).
Supponiamo che, nell'esempio menzionato nel messaggio precedente a questo, giochino 54 giocatori e che si accordino in maniera che ognuno scelga una carta vincente diversa.
Se il numero di carte massime che il banco fa girare è $k$ vediamo quale è la vincita che i giocatori si spartirebbero dopo che vengono girate le $k$ carte.
L'incasso totale dei 54 giocatori dopo $k$ carte girate è banalmente
$W=50*k$
(sto utilizzando i numeri del messaggio precedente come detto), mentre devono spendere tra tutti
$S=sum_{i=1}^{k} (54-i+1)$
(la prima volta tutti e 54 pagano 1 euro la seconda tutti meno 1 pagano un euro, visto che un giocatore ha vinto, la terza tutti meno 2 ecc.)
Si trova infatti che $W-S>0$ se $k>9$ (9 è proprio il limite per cui né il banco né i giocatori vincono), che è proprio il risultato ottenuto in precedenza utilizzando il concetto di vincita media e probabilità.
Interessante secondo me che vedendo le cose da un altro punto di vista non è neanche necessario fare entrare nel calcolo il concetto di probabilità e di vincita media associata.
Comunque chi ha posto il problema è scomparso, ma è chiaro che io l'ho risolto solo perché mi divertiva
Supponiamo che, nell'esempio menzionato nel messaggio precedente a questo, giochino 54 giocatori e che si accordino in maniera che ognuno scelga una carta vincente diversa.
Se il numero di carte massime che il banco fa girare è $k$ vediamo quale è la vincita che i giocatori si spartirebbero dopo che vengono girate le $k$ carte.
L'incasso totale dei 54 giocatori dopo $k$ carte girate è banalmente
$W=50*k$
(sto utilizzando i numeri del messaggio precedente come detto), mentre devono spendere tra tutti
$S=sum_{i=1}^{k} (54-i+1)$
(la prima volta tutti e 54 pagano 1 euro la seconda tutti meno 1 pagano un euro, visto che un giocatore ha vinto, la terza tutti meno 2 ecc.)
Si trova infatti che $W-S>0$ se $k>9$ (9 è proprio il limite per cui né il banco né i giocatori vincono), che è proprio il risultato ottenuto in precedenza utilizzando il concetto di vincita media e probabilità.
Interessante secondo me che vedendo le cose da un altro punto di vista non è neanche necessario fare entrare nel calcolo il concetto di probabilità e di vincita media associata.
Comunque chi ha posto il problema è scomparso, ma è chiaro che io l'ho risolto solo perché mi divertiva
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