Gaussiana bidimensionale
stavo vedendo su una dispensa, come trovare la gaussiana bidimensionale ...
non riesco a capire come fa dopo che ha trovato quella matrice inversa a ricavarsi la funzione di distribuzione
non riesco a capire come fa dopo che ha trovato quella matrice inversa a ricavarsi la funzione di distribuzione
Risposte
In realtà, il ragionamento che conosco io è:
Se abbiamo due Normali indipendenti, possiamo ottenere la distribuzione congiunta che sarà una Normale bivariata semplicemente moltiplicando le due marginali. A questo punto, per includere anche il caso in cui non c'è indipendendenza introduciamo un elemento nella formula che tiene conto della relazione che intercorre (e che nel caso di indipendenza si annulla facendoci ritornare al caso precedente). Questo elemento è il coefficiente di correlazione lineare che indichiamo com $rho$. Si vede facilmente che se $rho=0$ la formula è un semplice prodotto di due Normali univariate. E così arriviamo alla formula che hai te.
A questo punto passiamo per il discorso sulla matrice ed il determinante, che ci permette di semplificare quella formula in una cosa del tipo:
$p_Y(y; theta)=1/(2pisqrt(det(Sigma)))*e^{-1/2{(y-mu)^TSigma^(-1)(y-mu)}}$
Dove usiamo $det(Sigma)$ per indicare il determinante della matrice e $Sigma^(-1)$ per indicarne l'inversa. La parte nelle graffe si ricollega al concetto di forma quadratica.
Poi, io l'ho sempre saputa così
Se abbiamo due Normali indipendenti, possiamo ottenere la distribuzione congiunta che sarà una Normale bivariata semplicemente moltiplicando le due marginali. A questo punto, per includere anche il caso in cui non c'è indipendendenza introduciamo un elemento nella formula che tiene conto della relazione che intercorre (e che nel caso di indipendenza si annulla facendoci ritornare al caso precedente). Questo elemento è il coefficiente di correlazione lineare che indichiamo com $rho$. Si vede facilmente che se $rho=0$ la formula è un semplice prodotto di due Normali univariate. E così arriviamo alla formula che hai te.
A questo punto passiamo per il discorso sulla matrice ed il determinante, che ci permette di semplificare quella formula in una cosa del tipo:
$p_Y(y; theta)=1/(2pisqrt(det(Sigma)))*e^{-1/2{(y-mu)^TSigma^(-1)(y-mu)}}$
Dove usiamo $det(Sigma)$ per indicare il determinante della matrice e $Sigma^(-1)$ per indicarne l'inversa. La parte nelle graffe si ricollega al concetto di forma quadratica.
Poi, io l'ho sempre saputa così
si si quella che ho scritto io, intendevo proprio la distribuzione congiunta di 2 normali non indipendenti, non capivo la forma quadratica dell'esponente della bivariata.. però forse ora ho capito, ha semplicemente molplicato la matrice inversa con $(x-mu)$ e $(y-mu)$ giusto?
Esatto
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