Gaussiana
Data la Gaussiana $y=(1/sqrt pi)e^(-(1/4)(x-2)(x-1))$ quali sono i corrispettivi mu e sigma??
Sto impazzendo vi sarei grato se riusciste a darmi una mano.Anticipatamente grazie.
Sto impazzendo vi sarei grato se riusciste a darmi una mano.Anticipatamente grazie.
Risposte
Ciao PPP89 , leggi questo bel file -> http://www.dmmm.uniroma1.it/~paola.lore ... ssiana.pdf.
Secondo me per trovare $\sigma$ e $\mu$ devi calcolare i punti di flesso, perché nei punti di flesso $x=\mu\pm\sigma$. Per far ciò devi calcolare la derivata seconda della tua funzione e porla uguale a zero.
Ciao ciao
, leggi questo bel file -> http://www.dmmm.uniroma1.it/~paola.lore ... ssiana.pdf.Secondo me per trovare $\sigma$ e $\mu$ devi calcolare i punti di flesso, perché nei punti di flesso $x=\mu\pm\sigma$. Per far ciò devi calcolare la derivata seconda della tua funzione e porla uguale a zero.
Ciao ciao
Grazie mille per il consiglio ma non riesco a trovare i valori...ho le varie opzioni di risposta ma nessuno coincide con quello che ho trovato..potresti svolgermelo tu?non riesco a ricondurre l'esponente della "e" alla formula -B(x-mu)^2...
La derivata prima mi esce:
\begin{equation}
f'(x)=\frac{1}{4\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (3-2x)
\end{equation}
La derivata seconda:
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{16\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (4x^2-12x+1)
\end{equation}
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{16\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (4x^2-12x+1)=0
\end{equation}
se e soltanto se $(4x^2-12x+1)=0$ quindi $x=\frac{3}{2}\pm\sqrt{2}$. Quindi $\mu=\frac{3}{2}$ e $\sigma=sqrt{2}$.
Credo, è l'unica cosa che mi è venuta in mente in quanto non puoi ricondurti ad un quadrato perfetto.
\begin{equation}
f'(x)=\frac{1}{4\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (3-2x)
\end{equation}
La derivata seconda:
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{16\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (4x^2-12x+1)
\end{equation}
\begin{equation}
f''(x)=\frac{1}{16\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}(x-1)(x-2)} (4x^2-12x+1)=0
\end{equation}
se e soltanto se $(4x^2-12x+1)=0$ quindi $x=\frac{3}{2}\pm\sqrt{2}$. Quindi $\mu=\frac{3}{2}$ e $\sigma=sqrt{2}$.
Credo, è l'unica cosa che mi è venuta in mente in quanto non puoi ricondurti ad un quadrato perfetto.
Magari sbaglio, ma a me verrebbe da fare così:
[size=130]$e^(-1/4(x-2)(x-1))=e^(-1/4(x^2-3x+2))=e^(-1/4(x^2-3x+9/4-1/4))=e^(1/16)*e^(-1/4(x-3/2)^2)$[/size].
[size=130]$e^(-1/4(x-2)(x-1))=e^(-1/4(x^2-3x+2))=e^(-1/4(x^2-3x+9/4-1/4))=e^(1/16)*e^(-1/4(x-3/2)^2)$[/size].
Grazie HaldoSax,facendo come detto da te noi convergiamo sui tuoi stessi risultati cioè $mu= 3/2$ e $sigma=sqrt2$.Visto che stiamo correggendo un compito e abbiamo anche le risposte multiple,i nostri risultati non compaiono.Compaiono solo:
$mu=2$ $sigma=1/2$
$mu=1$ $sigma=1/4$
$mu=1$ $sigma=1$
$mu=2$ $sigma=1$
Stiamo impazzendo,vi ringraziamo tutti!!!
$mu=2$ $sigma=1/2$
$mu=1$ $sigma=1/4$
$mu=1$ $sigma=1$
$mu=2$ $sigma=1$
Stiamo impazzendo,vi ringraziamo tutti!!!
Detto per inciso, anche dal confronto della gaussiana scritta nella forma che ho proposto:
[size=130]$y=e^(1"/"16)/sqrt(pi)e^(-1/4(x-3/2)^2)$[/size]
con la forma standard (non normalizzata)
[size=140]$y=Ae^(-(x-mu)^2/(2 sigma^2))$[/size]
si evince che:__$mu=3/2$__e__$sigma=sqrt(2)$.
Sei sicuro/a di quei risultati?
[size=130]$y=e^(1"/"16)/sqrt(pi)e^(-1/4(x-3/2)^2)$[/size]
con la forma standard (non normalizzata)
[size=140]$y=Ae^(-(x-mu)^2/(2 sigma^2))$[/size]
si evince che:__$mu=3/2$__e__$sigma=sqrt(2)$.
Sei sicuro/a di quei risultati?
I risultati che ho trascritto sono pari pari le opzioni che il prof ha messo ad un esame,in più vi è la quinta opzione che ho dimenticato di trascrivere che dice: "Non è una gaussiana".Quindi a meno di un errore del professore quelli dovrebbero essere i risultati "corretti". 
:(
:(
Ho provato a svolgere i conti con i tuoi risultati ma mi risulta tutt'altro, non la funzione di partenza. Secondo me PPP89, visto che al medesimo risultato giunge anche palliit ma per un'altra strada, i risultati proposti sono sbagliati. Per curiosità è un tema d'esame o esercizi proposti dal profe? . A questo punto lascio spazio a persone più afferate di me in materia.
. A questo punto lascio spazio a persone più afferate di me in materia.
Tema d'esame purtroppo e domani c'è l'orale.Dobbiamo correggere anche quest'esercizio.
Grazie a tutti,siete un ottimo team!!:)
Grazie a tutti,siete un ottimo team!!:)
@PPP89: per mera curiosità, hai riscontri rispetto a quale fosse la risposta corretta?
Anche dal disegno della funzione sono confermati i risultati da voi ottenuti, disegnata funzione, derivata I e II.
http://postimg.org/image/4c9wextgr/
Calcolando gli integrali:
- l'area fra $mu -sigma$ e $mu +sigma$ = 68.26% del totale dell'area sotto la curva.
- l'area fra $mu - 2sigma$ e $mu +2sigma$ = 95.44% del totale dell'area sotto la curva.
- l'area fra $mu - 3sigma$ e $mu +3sigma$ = 99.73% del totale dell'area sotto la curva.
Non vedo motivi per cui questa non dovrebbe essere una normale di $mu=3/2$ e $sigma=sqrt2$
http://postimg.org/image/4c9wextgr/
Calcolando gli integrali:
- l'area fra $mu -sigma$ e $mu +sigma$ = 68.26% del totale dell'area sotto la curva.
- l'area fra $mu - 2sigma$ e $mu +2sigma$ = 95.44% del totale dell'area sotto la curva.
- l'area fra $mu - 3sigma$ e $mu +3sigma$ = 99.73% del totale dell'area sotto la curva.
Non vedo motivi per cui questa non dovrebbe essere una normale di $mu=3/2$ e $sigma=sqrt2$
Questa:
"Palliit":è una gaussiana, le caratteristiche rispetto al posizionamento dei flessi o ai valori delle aree ne sono una conseguenza, non una prova. Non vedo alternative a quella di un errore da parte di chi ha scritto le possibili soluzioni.
[size=130]$ y=e^(1"/"16)/sqrt(pi)e^(-1/4(x-3/2)^2) $[/size]
"Palliit":è una gaussiana, le caratteristiche rispetto al posizionamento dei flessi o ai valori delle aree ne sono una conseguenza, non una prova. Non vedo alternative a quella di un errore da parte di chi ha scritto le possibili soluzioni.[/quote]
Questa:[quote="Palliit"][size=130]$ y=e^(1"/"16)/sqrt(pi)e^(-1/4(x-3/2)^2) $[/size]
Sì, infatti non vedo motivi di avere altri dubbi. Non sono forte in matematica, vuoi dire che una funzione a campana simmetrica con quelle caratteristiche potrebbe essere qualcos'altro che una gaussiana? Ovvero se non conoscessi l'espressione analitica, ma solo le sue caratteristiche di cui sopra, non sarebbe sicuro che quella sia una gaussiana?
"Injuria":
vuoi dire che una funzione a campana simmetrica con quelle caratteristiche potrebbe essere qualcos'altro che una gaussiana?
E' esattamente quello che voglio dire. Due curve che hanno alcune caratteristiche comuni non necessariamente sono la stessa curva.
Penso ad esempio a quanto è facile confondere una parabola e una catenaria, oppure un arco di parabola con uno di ellisse (come di fatto si fa trattando come parabolico il moto di un proiettile).
Quel che mi chiedo è che cos'altro potrebbe essere. Quel che penso è che se so che la curva è simmetrica rispetto ad un asse verticale, assume solo valori positivi ed i rapporti delle aree sono quelli tipici della gaussiana si potesse dedurre che quella curva fosse proprio una gaussiana e che non potrebbe avere altra forma possibile di una gaussiana. Quale altra forma farebbe diminuire le aree allo stesso modo allontanandosi dall'asse di simmetria? Hai qualche esempio da fare?
Sul momento mi viene in mente questa possibilità.
Facendo, per comodità, riferimento alla gaussiana $e^(-x^2)$, definisci una funzione a tratti, che ad esempio per $|x|<3$ corrisponda allo sviluppo in serie di Taylor di $e^(-x^2)$ troncato, sempre ad esempio, al centesimo ordine, mentre per $|x|>=3$ sia identicamente zero. L'errore che commetti considerando questa come una gaussiana è inferiore a $3^100/(50"!") approx 10^(-17)$ all'interno dell'intervallo $[-3,+3]$, non superiore ad $e^(-9) approx 10^(-4)$ all'esterno; se lo ritieni un errore eccessivo puoi sempre allargare opportunamente l'intervallo e ovviamente "allungare il polinomio". Considerato che tutti i calcoli di aree relativi alla gaussiana sono frutto di metodi numerici approssimati, qualunque sia la cifra decimale alla quale si decidesse di arrotondare i risultati nessuno si accorgerebbe, confrontando i dati relativi alla vera gaussiana con quelli corrispondenti a questa funzione, che si tratta di una imitazione.
Salvo miei errori.
Facendo, per comodità, riferimento alla gaussiana $e^(-x^2)$, definisci una funzione a tratti, che ad esempio per $|x|<3$ corrisponda allo sviluppo in serie di Taylor di $e^(-x^2)$ troncato, sempre ad esempio, al centesimo ordine, mentre per $|x|>=3$ sia identicamente zero. L'errore che commetti considerando questa come una gaussiana è inferiore a $3^100/(50"!") approx 10^(-17)$ all'interno dell'intervallo $[-3,+3]$, non superiore ad $e^(-9) approx 10^(-4)$ all'esterno; se lo ritieni un errore eccessivo puoi sempre allargare opportunamente l'intervallo e ovviamente "allungare il polinomio". Considerato che tutti i calcoli di aree relativi alla gaussiana sono frutto di metodi numerici approssimati, qualunque sia la cifra decimale alla quale si decidesse di arrotondare i risultati nessuno si accorgerebbe, confrontando i dati relativi alla vera gaussiana con quelli corrispondenti a questa funzione, che si tratta di una imitazione.
Salvo miei errori.
Capisco i ragionamenti: se non si conosce l'espressione della curva non si può dire di trovarsi di fronte ad una gaussiana. Ma l'interesse sulla gaussiana è fare inferenza, dal punto di vista inferenziale poco cambia se ci troviamo di fronte una gaussiana o una quasi-gaussiana con errori di approssimazione molto piccoli (come nel caso della t di student con 1000 gradi di libertà, che comunque sarebbe possibile notarne le differenze di valori per aree superiori al 95%, anche se molto piccoli).
Però, seguendo il vostro ragionamento, sarebbe sempre impossibile dire con certezza di trovarsi di fronte ad una gaussiana non conoscendone l'espressione se non con un qualche margine di errore. Badiamo bene che nella realtà pratica inferenziale non si conosce mai una distribuzione ex ante. Gli stessi test di normalità usati per la maggiore prevedono un certo margine di incertezza.
Però, seguendo il vostro ragionamento, sarebbe sempre impossibile dire con certezza di trovarsi di fronte ad una gaussiana non conoscendone l'espressione se non con un qualche margine di errore. Badiamo bene che nella realtà pratica inferenziale non si conosce mai una distribuzione ex ante. Gli stessi test di normalità usati per la maggiore prevedono un certo margine di incertezza.
@Injuria: posso condividere la tua opinione circa il fatto che in un caso di utilizzo pratico poco cambierebbe far uso di una gaussiana "autentica" o di una sua approssimazione, di fatto l'esercizio posto da PPP89 pone una domanda molto circostanziata circa il fatto che la curva proposta sia o no una gaussiana, e la risposta è sì.
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