Funzioni di variabili aleatorie
Ho questo problema: non mi è chiaro come ricavare la distribuzione di una funzione di variabili aleatorie. Cioé data $ Y=g(X) $ vorrei capire come si ricava $ F_Y(y) $ conoscendo $ F_X(x) $. Faccio un esempio, data una successione di v.a. $ U_n \sim U[0,1] $ sia $ X_n=-ln((U_n)^{1/n}) $ devo trovare la successione delle $ F_n(x) $. Il mio problema principale è proprio capire come ricavare la distribuzione di una funzione di variabili aleatorie.
Risposte
dipende dalla funzione $g(x)$;
secondo me la cosa migliore è questa:
devi studiare la funzione $g(x)$ per i valori del dominio dove $X$ scarica probabilità (massa o densità);
quindi capire quale è il supporto della variabile ovvero studiare l'immagine della funzione;
dopo capire come funziona la trasformazione in particoare vedere come si comporta rispetto all'iniettività;
e quindi calcolare $P(g(X)
prova a fare questi passaggi con l'esercizio da te proposto (la $g$ da te proposta definita opportunamente è biettiva); poi magari vediamo qualche esempio di funzioni leggermente più strane per spigare quello che ti dicevo.
P.S. La definisci in funzione di $n$; dovrai studiarne la convergenza?
Ho visto che avevi richiesto esercizi, forse riesco a pizzicare qualcosa.
secondo me la cosa migliore è questa:
devi studiare la funzione $g(x)$ per i valori del dominio dove $X$ scarica probabilità (massa o densità);
quindi capire quale è il supporto della variabile ovvero studiare l'immagine della funzione;
dopo capire come funziona la trasformazione in particoare vedere come si comporta rispetto all'iniettività;
e quindi calcolare $P(g(X)
prova a fare questi passaggi con l'esercizio da te proposto (la $g$ da te proposta definita opportunamente è biettiva); poi magari vediamo qualche esempio di funzioni leggermente più strane per spigare quello che ti dicevo.
P.S. La definisci in funzione di $n$; dovrai studiarne la convergenza?
Ho visto che avevi richiesto esercizi, forse riesco a pizzicare qualcosa.
Forse se non sai calcolare la pdf di una funzione di variabile aleatoria è meglio che non ti butti su robe più complicate 
Comunque ho dato un'occhiata a questo sito e mi pare che venga spiegato bene. In alternativa, trovi il procedimento su tutti i libri di probabilità, ad esempio il Papoulis.
http://cnx.org/content/m11066/latest/
Comunque ho dato un'occhiata a questo sito e mi pare che venga spiegato bene. In alternativa, trovi il procedimento su tutti i libri di probabilità, ad esempio il Papoulis.
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"DajeForte":
P.S. La definisci in funzione di $n$; dovrai studiarne la convergenza?
Ho visto che avevi richiesto esercizi, forse riesco a pizzicare qualcosa.
Sì, in effetti devo poi studiarne la convergenza. Mi sono però reso conto di avere qualche lacuna sul calcolo delle distribuzioni di v.a. continue. E' un esercizio di preparazione all'esame di Calcolo di Probabilità e Statistica. Se trovi qualcosa sulle convergenze te ne sarei grato. Adesso, provo a seguire i tuoi consigli e poi posto quello che mi esce.
"elgiovo":
Forse se non sai calcolare la pdf di una funzione di variabile aleatoria è meglio che non ti butti su robe più complicate
Comunque ho dato un'occhiata a questo sito e mi pare che venga spiegato bene. In alternativa, trovi il procedimento su tutti i libri di probabilità, ad esempio il Papoulis.
http://cnx.org/content/m11066/latest/
Ti ringrazio per l'indicazione. Non è che voglia buttarmi su robe più complicate. E' che facendo un esercizio sulle convergenze nella preparazione dell'esame mi sono reso conto delle mie lacune.
ma l'esercizio ti chiede di trovare la distribuzione o la convergenza?
"itpareid":
ma l'esercizio ti chiede di trovare la distribuzione o la convergenza?
Dovrò calcolarne la convergenza, però mi sono reso conto di avere problemi già nel calcolo della distribuzione della funzione $ X(U) $
può darsi che dica un'asinata, ma per lo studio della convergenza non devi utilizzare la legge forte dei grandi numeri o il teorema del limite centrale (ovviamente verificando le varie ipotesi)? al massimo ti serve calcolare media e varianza delle $X_n$
"itpareid":
può darsi che dica un'asinata, ma per lo studio della convergenza non devi utilizzare la legge forte dei grandi numeri o il teorema del limite centrale (ovviamente verificando le varie ipotesi)? al massimo ti serve calcolare media e varianza delle $X_n$
Ma il teorema del limite centrale non riguarda la convergenza della somma di variabili aleatorie? Io pensavo di dover verificare che il limite della successione delle distribuzioni delle v.a. converga alla distribuzione di una qualche v.a. (e così avrei convergenza in distribuzione). Ho le idee un po' confuse.
ma qual è il testo dell'esercizio?
"itpareid":
ma qual è il testo dell'esercizio?
Sia $ {U_n}_(n \in NN) $ una successione di variabili aleatorie con $ U_n \sim U[0,1] $. Sia $ X_n=-ln((U_n)^{1/n}) $. Studiare la convergenza di $ {X_n}_n $.
mi sembra di avere visto qualche tempo fa da qualche parte su internet un esercizio simile...
"itpareid":
mi sembra di avere visto qualche tempo fa da qualche parte su internet un esercizio simile...
Il mio l'ho preso nelle dispense del Prof. Ti ricordi dove lo avevi visto?
non mi ricordo...
ma non hai ipotesi di indipendenza e/o identica distribuzione?
a grandi linee però mi sembra di ricordare che per togliere il logaritmo ad un certo punto passa dalla $\sum$ alla produttoria
ma non hai ipotesi di indipendenza e/o identica distribuzione?
a grandi linee però mi sembra di ricordare che per togliere il logaritmo ad un certo punto passa dalla $\sum$ alla produttoria
"DajeForte":
prova a fare questi passaggi con l'esercizio da te proposto (la $g$ da te proposta definita opportunamente è biettiva); poi magari vediamo qualche esempio di funzioni leggermente più strane per spigare quello che ti dicevo.
Allora io ho provato a ragionare così:
sia $ U_n $ una successione di v.a. tali che $ U_n \sim U[0,1] $
$ F_(U_n)(x)=P(U_n
Abbiamo che $ Y=-ln((U_n)^{1/n}) $
$ F(y)=P(-ln(U_n ^{1/n})
Può avere senso?
Ti sei perso il meno; per il resto va bene;
per quali valori di $y$?
per quali valori di $y$?
"DajeForte":
Ti sei perso il meno; per il resto va bene;
Dove l'ho perso il meno?
Dove hai inverito la variabile;
poi visto che $y>0$ (e non me lo hai detto) $e^(ny)>1$ che non avrebbe molto senso se applicato ad una uniforme in 0,1;
infine (correggiendo il meno) esplicita l'ultima espressione: si vede subito che la $g(U_n)$ è una variabile nota
poi visto che $y>0$ (e non me lo hai detto) $e^(ny)>1$ che non avrebbe molto senso se applicato ad una uniforme in 0,1;
infine (correggiendo il meno) esplicita l'ultima espressione: si vede subito che la $g(U_n)$ è una variabile nota
"DajeForte":
Dove hai inverito la variabile;
poi visto che $y>0$ (e non me lo hai detto) $e^(ny)>1$ che non avrebbe molto senso se applicato ad una uniforme in 0,1;
infine (correggiendo il meno) esplicita l'ultima espressione: si vede subito che la $g(U_n)$ è una variabile nota
Quindi provo a rifare:
$ F(y)=P(-ln(U_n ^{1/n})
Che ne dici?
No ora ne hai sbagliato un'altro;
al terzo uguale dovevi invertire la disuguaglianza
al terzo uguale dovevi invertire la disuguaglianza
"DajeForte":
No ora ne hai sbagliato un'altro;
al terzo uguale dovevi invertire la disuguaglianza
Intendi nel punto in cui ho considerato i reciproci dei membri della disequazione? Perché devo invertire la diguaglianza?
è un semplice passaggio algebrico...
a te verrebbe $1/e^{ny}$
a te verrebbe $1/e^{ny}
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