Funzioni di variabili aleatorie

[poncelet]

Ho questo problema: non mi è chiaro come ricavare la distribuzione di una funzione di variabili aleatorie. Cioé data $ Y=g(X) $ vorrei capire come si ricava $ F_Y(y) $ conoscendo $ F_X(x) $. Faccio un esempio, data una successione di v.a. $ U_n \sim U[0,1] $ sia $ X_n=-ln((U_n)^{1/n}) $ devo trovare la successione delle $ F_n(x) $. Il mio problema principale è proprio capire come ricavare la distribuzione di una funzione di variabili aleatorie.

[poncelet]

Quindi

$ F(y)=P(-ln(U_n ^{1/n})1/(e^{ny}))=1-F_U_n(1/e^{ny})=1-1/e^{ny}$ nell'intervallo $0<1/e^{ny}<1$.

Adesso è giusto?

[itpareid]

io scriverei solo $1-F_U_n(e^{-ny})$
forse vanno bene, però non sono sicuro sugli estremi dell'intervallo

[poncelet]

"itpareid":io scriverei solo $1-F_U_n(e^{-ny})$
forse vanno bene, però non sono sicuro sugli estremi dell'intervallo

Io ho ragionato sul fatto che essendo $U_n$ uniforme in $[0,1]$ la sua distribuzione in tale intervallo equivale al suo argomento.

[itpareid]

sì mi sembra corretto...io proverei ad esplicitare l'intervallo in $y$

[DajeForte]

Si è corretto;
ricorda che $1/(e^(ny))=e^(-ny)$

quindi $F_Y(y)=1-e^(-ny)$ per $y>0$ ($0$ per $y<=0$)questa è una funzione di ripartizione di una variabile nota;

poi passa alla convergenza

[poncelet]

"DajeForte":Si è corretto;
ricorda che $1/(e^(ny))=e^(-ny)$

quindi $F_Y(y)=1-e^(-ny)$ per $y>0$ ($0$ per $y<=0$)questa è una funzione di ripartizione di una variabile nota;

poi passa alla convergenza

A questo punto calcolando il limite per $n->+\infty$ della $F_Y(y)$, mi verrebbe $0$ $ \forall y$ Quindi la successione converge ad una v.a. degenere, ovvero $Y->0$.

[DajeForte]

Innanzi tutto ti dico che $g(U_n)$ è un esponenziela di parametro $n$.

Per quanto riguardo la convergenza cosa intendi?
Lo sai che ci sono diversi tipi di convergenza?

[poncelet]

"DajeForte":Innanzi tutto ti dico che $g(U_n)$ è un esponenziela di parametro $n$.

Per quanto riguardo la convergenza cosa intendi?
Lo sai che ci sono diversi tipi di convergenza?

Intenderei che converge a 0 in distribuzione (o, equivalentemente, in legge).

[DajeForte]

Si in distribuzione converge a $0$

[poncelet]

"DajeForte":Si in distribuzione converge a $0$

E se non sbaglio, visto che $Y$ converge in distribuzione ad una v.a. degenere (in questo caso $0$), si può dire che vi converge anche in probabilità.

[DajeForte]

OK

Se una successione di variabili converge in distribuzione ad una degenere;
allora converge in probabilità alla stessa.

[poncelet]

"DajeForte":OK

Se una successione di variabili converge in distribuzione ad una degenere;
allora converge in probabilità alla stessa.

E così dovremmo aver finito l'esercizio. Che fatica!
Grazie di tutto.