Funzione di massima verosimiglianza
Salve a tutti ,
Vorrei chiedere un aiuto sul “metodo di massima verosimiglianza”.
Ho capito che si tratta della ricerca del massimo di una funzione, ma non capisco come viene composta la funzione di verosimiglianza.
Ho un libro con una serie di esercizi risolti e vedo che data una funzione ne ricava la funzione di densità e poi ne fa la produttoria, per poi ricavarne la funzione di verosimiglianza.
Ma non riesco a capire se è sufficiente conoscere le funzioni di densità notevoli per poi procedere con normali passaggi matematici, oppure se alla base di tutto vi è qualche ragionamento particolare.
Grazie
Vorrei chiedere un aiuto sul “metodo di massima verosimiglianza”.
Ho capito che si tratta della ricerca del massimo di una funzione, ma non capisco come viene composta la funzione di verosimiglianza.
Ho un libro con una serie di esercizi risolti e vedo che data una funzione ne ricava la funzione di densità e poi ne fa la produttoria, per poi ricavarne la funzione di verosimiglianza.
Ma non riesco a capire se è sufficiente conoscere le funzioni di densità notevoli per poi procedere con normali passaggi matematici, oppure se alla base di tutto vi è qualche ragionamento particolare.
Grazie
Risposte
Non ci sono ragionamenti particolari da fare.
In generale hai una funzione di distribuzione del campione (potrà essere di massa o di densità secondo se la v.a. è discreta o continua) $f(x_1,...,x_n;theta_1,...,theta_d)$; quindi n sono le osservazioni che fai (è la dimensione della variabile) d è il numero di parametri scalari (generalmente si pone $theta$ vettore d dimensionale).
La produttoria si applica perchè si considera che ciascuna delle n variabili del campione siano indipendenti ed identicamente distribuite (iid).
Hai quindi una $f(x_1,...,x_n;theta_1,...,theta_d)\ =\ prod_{i=1}^n\ f(x_i,theta_1,...,theta_d)$
Quindi o hai la distribuzione del campione o hai la distribuzione della singola variabile ed esse sono iid (e quindi per quella del campione ne fai la produttoria).
Una volta che hai f del campione (non puoi non averla; per la max-vero devi conoscere la distribuzione del campione) consideri le variabili $x_1,...,x_n$ come fisse (sono realizzate e non sono più variabili) e vedi la funzione del campione come funzione nella variabile $theta$, ovvero
$L(theta)\ =\ f(x_1,...,x_n;theta)$
In generale hai una funzione di distribuzione del campione (potrà essere di massa o di densità secondo se la v.a. è discreta o continua) $f(x_1,...,x_n;theta_1,...,theta_d)$; quindi n sono le osservazioni che fai (è la dimensione della variabile) d è il numero di parametri scalari (generalmente si pone $theta$ vettore d dimensionale).
La produttoria si applica perchè si considera che ciascuna delle n variabili del campione siano indipendenti ed identicamente distribuite (iid).
Hai quindi una $f(x_1,...,x_n;theta_1,...,theta_d)\ =\ prod_{i=1}^n\ f(x_i,theta_1,...,theta_d)$
Quindi o hai la distribuzione del campione o hai la distribuzione della singola variabile ed esse sono iid (e quindi per quella del campione ne fai la produttoria).
Una volta che hai f del campione (non puoi non averla; per la max-vero devi conoscere la distribuzione del campione) consideri le variabili $x_1,...,x_n$ come fisse (sono realizzate e non sono più variabili) e vedi la funzione del campione come funzione nella variabile $theta$, ovvero
$L(theta)\ =\ f(x_1,...,x_n;theta)$
Grazie mille Dajeforte,
la tua spiegazione mi ha chiarito le idee di più che non le ore passate sul libro di testo!
la tua spiegazione mi ha chiarito le idee di più che non le ore passate sul libro di testo!
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