Funzione di distribuzione

[enr87]

sto guardando un esercizio in cui si chiede di calcolare la densità $f_Y(y)$ sapendo che $y = g(x) = x1(x)$ (rampa) ed $X$ di densità $N(0,1)$.
il metodo è collaudato: si trova la funzione di distribuzione $F_Y(y)$ e si deriva, però non capisco perchè nella soluzione si pone $P(X \ 1(X) <= y) = P(X<=y)$, se $y >=0$. perchè il gradino unitario si può togliere?

[retrocomputer]

Scusa, non ho capito bene cos'è $1(x)$.

[enr87]

il gradino unitario, vale 1 quando X >= 0, 0 quando X < 0. forse lo chiami u(t) o funzione di heaviside (però questa vale 1/2 in 0)

[retrocomputer]

Ah sì, forse ho capito:

$P(X\cdot 1(X)\leq y)=P(0\leq X\leq y)$ e da qui, passando attraverso qualche complementare, si arriva a $P(X\leq y)$.

Torna?

[enr87]

sinceramente no, non capisco come passi a P(0 < X < y)

[retrocomputer]

$P(X\cdot 1(X)\leq y)=P(X\cdot 1(X)<0)+P(0\leq X\leq y)=0+P(0\leq X\leq y)$

Così va meglio?

[enr87]

ah ok grazie. ora come si passa all'altro però?

[retrocomputer]

Ehm, forse all'altro non si passa Mi sono dimenticato un $P(X<0)$...

[enr87]

uff, io qui mi perdo sempre. perchè te lo sei dimenticato? da dove sbuca?

[retrocomputer]

Io farei così:
$P(0\leq X\leq y)=1-[P(X>y)+P(X<0)]=1-[1-P(X\leq y)+P(X<0)]=P(X\leq y)-P(X<0)$

[enr87]

a questo punto bisognerebbe capire perchè X è sempre positiva, evidentemente
(torno più tardi)