Funzione di distribuzione

[stefanyastefy]

Ciao ho questo quesito da risolvere, ma non ci sono riuscita, qualcuno può aiutarmi? grazie!
Data la funzione :
\(\displaystyle F(x)= 0\) se \(\displaystyle x\leq-2\) ;
\(\displaystyle F(x)= a(x^2+5x+6) \) se \(\displaystyle -2 \(\displaystyle F(x)=x/6\) se \(\displaystyle 2 \(\displaystyle F(x)=1\) se \(\displaystyle x>6 \)
Si determinino gli eventuali valori del parametro \(\displaystyle a \) tali che \(\displaystyle F \) sia una CDF e, per una siffatta variabile aleatoria \(\displaystyle X \) , si trovi la media \(\displaystyle E[X] \) .

Ho pensato di procedere in questo modo ma non so se va bene:
\(\displaystyle F(-2)-F(-\infty)= 0\)
\(\displaystyle F(2)-F(2)= a(2^2+5*2+6)-a((-2)^2-5*2+6)=20a\)
\(\displaystyle F(6)-F(2)= 1-2/6=2/3\)
\(\displaystyle F(+\infty)-F(6)= 0\)
\(\displaystyle 0+20a+2/3+0=1 \)
\(\displaystyle a=1/60\)

\(\displaystyle E[X]=\int xF(x)dx \)
ma non so cosa fare per continuare nè se quello fatto finora ha senso.
aiutatemi!

[hamming_burst]

Ciao Benvenuta,

"luna77":
Ho pensato di procedere in questo modo ma non so se va bene:
\(\displaystyle F(-2)-F(-\infty)= 0\)
..
\(\displaystyle F(+\infty)-F(6)= 0\)

non mi piace come hai espresso questo. Va bene valutare la definizione della cdf, ma si utilizza il concetto di limite in questo caso.

\(\displaystyle F(2)-F(2)= a(2^2+5*2+6)-a((-2)^2-5*2+6)=20a\)
\(\displaystyle F(6)-F(2)= 1-2/6=2/3\)

\(\displaystyle 0+20a+2/3+0=1 \)
\(\displaystyle a=1/60\)

mi pare ok.

\(\displaystyle E[X]=\int xF(x)dx \)

sicura che il valore atteso è definito in questo modo?

PS: grazie per la corretta impostazione del thread.

[stefanyastefy]

\(\displaystyle F(+\infty)-F(6)= 0\)

non mi piace come hai espresso questo. Va bene valutare la definizione della cdf, ma si utilizza il concetto di limite in questo caso.

quindi se non ho capito male, mi suggerisci di calcolare il limite per b che tende a meno infinito di $ \int_ b^-2 F(x)dx$ e il limite per b che tende a più infinito di $ \int_6^b F(x)dx$ ?

[quote]\(\displaystyle F(2)-F(2)= a(2^2+5*2+6)-a((-2)^2-5*2+6)=20a\)
\(\displaystyle F(6)-F(2)= 1-2/6=2/3\)

\(\displaystyle 0+20a+2/3+0=1 \)
\(\displaystyle a=1/60\)

mi pare ok.
[/quote]
quindi \(\displaystyle a=1/60\) va bene?

[quote]\(\displaystyle E[X]=\int xF(x)dx \)

sicura che il valore atteso è definito in questo modo?
[/quote]
\(\displaystyle E[X]=\int xf_X(x)dx \) ma non ho idea di come procedere per calcolare questo valore atteso se puoi darmi qualche suggerimento mi daresti un grande aiuto.
grazie per la risposta!