Formula di inversione per le densità

[retrocomputer]

Parlo di funzioni caratteristiche e relativa formula di inversione, e non capisco un passaggio della dimostrazione del teorema che fornisce l'espressione della densità di una distribuzione avente funzione caratteristica integrabile. La dimostrazione che sto guardando è in questo pdf tra le pagine 125 e 127 e il mio problema è nel punto 4 di pagina 127, dove dice che, chiamando $f_T(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-T}^{T}e^{-ity}\varphi(t)dt$ e $f(y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ity}\varphi(t)dt$, risulta $f_T\to f$ per $T\to\infty$ per il teorema di convergenza dominata (che nel pdf è a pagina 44).
Ecco, come si applica qui questo teorema?

A parte il fatto che qui si sta trattando con funzioni complesse (ma credo che il teorema di Lebesgue valga lo stesso), intanto passerei alle successioni $T_n\to\infty$ così da avere una successione di funzioni $f_n=f_{T_n}$, come richiesto per poter applicare la convergenza dominata, e poi? Mi mette in crisi la $T$ negli estremi di integrazione...

[retrocomputer]

Cioè, più che una applicazione del teorema di Lebesgue, a me pare un integrale generalizzato... Poi mi direte che le due cose sono collegate, ma io non ci avevo mai pensato

Sono comunque curioso di vedere come si formalizza la convergenza dominata in questi casi...

[fu^2]

per una funzione $g$ puoi scrivere che $f_T=\int_{-T}^T g(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty} g(t) 1_{(-T,T)}(t)dt$ così vedi di più come si usa lebesgue (perchè non dovrebbe valere per funzioni complesse? )?

[retrocomputer]

Sì grazie, così lo vedo anch'io