[fondamenti di segnali e tramissione] esercizio

[tommasovitolo1]

Salve a tutti. Ho un problema di come impostare questo esercizio. Qualcuno potrebbe darmi qualche indicazione. Grazie mille

Un investitore possiede un capitale di 10000Є che vuole investire acquistando azioni delle due società A e B. Ogni azione della società A costa 20Є e ogni azione della società B costa 50Є. Le variabili aleatorie $ R_A $ e $ R_B $ rappresentano i rendimenti annuali della singola azione della società A e della società B, rispettivamente. Analisi di mercato mostrano che la media e la deviazione standard $ R_A $ e $ R_B $ sono:
$ E{R_A}= 1Є $, $ STD[R_A}= 0.5Є $, $ E{R_B}= 2.5Є $, $ STD[R_B}= 1Є $
Siano $ n_A $ e $ n_B $ il numero di azioni acquistate della società A e della società B, rispettivamente. L'investitore vuole massimizzare il rendimento annuale medio $ E{n_A*R_A+n_B*R_B} $ e minimizzare la varianza $ VAR{n_A*R_A+n_B*R_B} $ (gli investitori percepiscono l'incertezza come un fattore di rischio). Assumendo che i rendimenti annuali delle due società siano indipendenti, stabilire quale tra le seguenti alternative rappresenti il migliore piano di investimento:
1. investire l'intero capitale in azioni della società A;
2. investire l'intero capitale in azioni della società B;
3. investire metà del capitale in azioni della società A e metà del capitale in azioni della società B.
Ripetere il confronto tra i tre piani di investimento assumendo questa volta che la covarianza $ c_AB $ dei rendimenti annuali $ R_A $ e $ R_B$ sia: (i) $ c_AB = 0.8$ e (ii) $ c_AB = -0.4$

[ghira1]

"tommasovitolo":$ VAR[na*RA+nb*RB] = na*VAR[RA]+nb*VAR[RB]+2E[RA*RB] $

Se $X$ è -1 con probabilità 0,5 e 1 con probabilità 0,5, quant'è $Var(X)$? Quant'è $Var(2X)$? $Var(aX)$?

[tommasovitolo1]

Nel primo caso $ (-1)^2*1/2+1^2*1/2=1 $
Nel primo caso $ 2*((-1)^2*1/2+1^2*1/2)=2 $
Nel terzo caso $ a*((-1)^2*1/2+1^2*1/2)=a $

[ghira1]

"tommasovitolo":Nel primo caso $ (-1)^2*1/2+1^2*1/2=1 $
Nel primo caso $ 2*((-1)^2*1/2+1^2*1/2)=2 $
Nel terzo caso $ a*((-1)^2*1/2+1^2*1/2)=a $

No. Calcola le varianze per i casi 2 e 3 a mano.

[tommasovitolo1]

Riferendomi al problema
Nel primo caso $ (1)^2*500=500 $
Nel secondo caso $ (2.5)^2*200=1250$
Nel terzo caso $ (1)^2*500+(2.5)^2*200=1750 $

[tommasovitolo1]

$ VAR[X] = E[(X)-E(X)^2] $
Pongo Y = 2X
$ E[Y] = E[2X]=2E[X] $
$ VAR[Y] = E[(Y)-E(Y)^2] = E[(2X-2E[X])^2] = E[(4X-E[X])^2]=4VAR[X] $

[tommasovitolo1]

$ VAR[aX] = E(aX)^2-(E(aX))^2 = E(a^2*X^2)-(aE[X]))^2 = a^2*E(X^2)-a^2(E(X))^2 = a^2*VAR(X)$

[ghira1]

"tommasovitolo":$ VAR[aX] = E(aX)^2-(E(aX))^2 = E(a^2*X^2)-(aE[X]))^2 = a^2*E(X^2)-a^2(E(X))^2 = a^2*VAR(X)$

come diceva il link che ho messo prima

[tommasovitolo1]

Per rispondere al primo quesito, usufruisco della formula del rendimento annuale medio $E{n_A*R_A+n_B*R_B}$. Indico il capitale complessivo con $C_c$
Poichè chiede di investire l'intero capitale in azioni della società A.
$R_A = (C_c)/(n_A) = 10000/20 = 500$
$E{n_A*R_A+n_B*R_B} = {1*500} = 500$

Per calcolare la varianza posso sfruttare la formula della varianza fornita
$VAR{n_A*R_A+n_B*R_B}$
Avendo a disposizione la deviazione standard e sapendo che $STD[X] = sqrt(VAR[X])$
Quindi mi ricavo la varianza di $R_A$ $VAR[R_A] = 0.25$
$VAR{n_A*R_A+n_B*R_B} = (n_A)^2*VAR(R_A) = (20^2)*0.25 = 100 $

Stesso ragionamento per il secondo quesito, usufruisco della formula del rendimento annuale medio $E{n_A*R_A+n_B*R_B}$. Indico il capitale complessivo con $C_c$
Poichè chiede di investire l'intero capitale in azioni della società B.
$R_B = (C_c)/(n_B) = 10000/50 = 200$
$E{n_A*R_A+n_B*R_B} = {2.5*200} = 500$

Per calcolare la varianza posso sfruttare la formula della varianza fornita
$VAR{n_A*R_A+n_B*R_B}$
Avendo a disposizione la deviazione standard e sapendo che $STD[X] = sqrt(VAR[X])$
Quindi mi ricavo la varianza di $R_B$ $VAR[R_B] = 6.25$
$VAR{n_A*R_A+n_B*R_B} = (n_B)^2*VAR(R_B) = (2.5^2)*6.25 = 39 $

Stesso ragionamento per il terzo quesito, usufruisco della formula del rendimento annuale medio $E{n_A*R_A+n_B*R_B}$. Indico il capitale complessivo con $C_c$
Poichè chiede di investire metà del capitale in azioni della società A e della società B.
$R_A = (C_c)/(n_A) = 5000/20 = 250$
$R_B = (C_c)/(n_B) = 5000/50 = 100$
$E{n_A*R_A+n_B*R_B} = {1*250+2.5*200} = 500$

Per calcolare la varianza posso sfruttare la formula della varianza fornita
$VAR{n_A*R_A+n_B*R_B}$
Avendo a disposizione la deviazione standard e sapendo che $STD[X] = sqrt(VAR[X])$
Quindi mi ricavo la varianza di $R_A$ $VAR[R_A] = 0.25$
Quindi mi ricavo la varianza di $R_B$ $VAR[R_B] = 6.25$
$VAR{n_A*R_A+n_B*R_B} = (n_A)^2*VAR(R_A)+(n_B)^2*VAR(R_B) = (20^2)*0.25 +(2.5^2)*6.25 = 139 $

Mentre per la quarta domanda utilizzo la formula del coefficiente di correlazione
$ r(R_A,R_B)=(COV(R_A,R_B))/sqrt(VAR[R_A]*VAR[R_B] $

1) $ r(R_A,R_B)= 0.8/(sqrt(100*39) ) = 0.006 $
2) $ r(R_A,R_B)= (-0.4)/(sqrt(100*39) ) = 0.003 $